离散型随机变量分布|简明高数

通过前面的学习，我们了解了随机事件及其概率的定义，掌握了概率的加法和乘法运算．但是还没有完全了解随机试验的整体统计规律，为了深入、全面地研究随机现象的这些规律，需要引入新的概念——随机变量及其分布．

一、随机变量

1．随机变量的定义

所谓变量就是可以变化的量，在随机试验中是否存在可变的量呢？在掷一颗骰子的试验中，骰子出现的点数是一个变量，它的取值为1、2、3、4、5、6．而该变量的取值随着试验结果的不同而不同，所以变量的取值具有随机性，称为随机变量．在掷一枚硬币的试验中，正面朝上或反面朝上，似乎没有变量，但是一旦规定：正面出现记为0，反面出现记为1，这样就得到一个可取0、1的变量，而且变量的取值具有随机性．可见，总可以将一个随机事件用一个变量表示．

一般地，如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而不同，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，这种变量称为随机变量．随机变量可用英文大写字母X，Y，Z，…表示，而用英文小写字母x，y，z，…表示随机变量可能取的值．

例1 某长途汽车站每隔10min有一辆汽车经过，乘客在任一时刻到达汽车站是等可能的，则“乘客等候汽车的时间X”是一个随机变量，它在0～10之间取值：

0≤X≤10．

例2 有一部最多载10人的电梯，乘客在任一时刻侯乘电梯是等可能的，则“电梯中乘客的人数”Y是一个随机变量，它的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．

例3 某段时间内某网站被点击数是一个随机变量Z，其可能取值为0…，，，12.

2．随机变量的分类

随机试验的结果可以用随机变量的取值来表示，有些随机变量的取值可以一一列出，如“掷一枚硬币”的结果是0，1；“掷一颗骰子”的结果是1，2，3，4，5，6．而“乘客等候汽车的时间”的取值不能一一列出，而是充满实数区间[0,10]．

定义1 若随机变量X的取值为有限个或可列无限个x1，x2，x3，…，xn，…，则称X为离散型随机变量．

显然，“掷一枚硬币”，“掷一颗骰子”，“电梯中的乘客人数”，“网站被点击数”中的随机变量都是离散型随机变量．而“乘客等候汽车的时间”中的随机变量不是离散型随机变量．

定义2 若随机变量X所能取的值不能一一列举出来，而是充满某一实数区间，则称X为连续型随机变量．“乘客等候汽车的时间”中的随机变量就是连续型随机变量．

二、离散型随机变量的分布

研究离散型随机变量，既要知道它所有可能取值，又要知道它取这些值的概率．

定义3 若离散型随机变量X的值为x1,x2,…,xk ,…，并且取相应值的概率为p1,p2,…,pk ,…,则称

P(X=xi )=pi （i=1，2，…，n，…）

为离散型随机变量X的概率分布或分布列，也称为概率函数．概率分布也可用下表表示：

例4 掷一枚硬币，直到出现正面朝上为止，用X表示投掷的次数，由于各次试验是相互独立的，所以随机变量X的概率分布为

例5 赵老板经营一种时令水果，进货后第一天售出的概率为0.5，每千克获利5元；第二天售出的概率为0.3，每千克获利2元；第三天售出的概率为0.2，每千克获利-1元.求经营该种时令水果每千克获利X的概率分布．

解 离散型随机变量X的所有可能取值为5，2，-1．取这些值的概率分别是0.5，0.3，0.2．所以分布列为

定义4 设X是一个随机变量，称函数

F(x)=P(X≤x)

为随机变量X的分布函数，记作F(x)．(www.xing528.com)

显然，以P(X=xi )=pi （i=1，2，…，n，…） 为分布列的离散型随机变量X的分布函数为

如例4中随机变量X的分布函数为

三、常见离散型随机变量的分布

1．两点分布

若一个随机试验只出现两种结果，则称随机变量X服从两点分布（0－1分布）．设X取1的概率为p，则X的分布列如下：

在实际中，服从两点分布的随机变量有很多，如产品的“合格”与“不合格”、种子的“发芽”与“不发芽”、新生儿的性别“男”和“女”、掷硬币的“正面朝上”与“反面朝上”等．

2．二项分布

若随机变量X的取值为0，1，2，…，n，其概率分布为

则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n,p)．

例6 已知某个地区人群患有某种病的概率是0.2，研究一种新药对该病是否有预防作用，现有15个人服用该药，结果都没有得该病，从这个结果评价该种新药的效果，会得到什么结论?

解 15个人服用该药，可看作独立地进行15次实验，若该药无效，则每人得病的概率是0.2，这时15人中得病的人数应服从参数为（15，0.2）的二项分布，所以“15人都不得病”的概率是

这说明，若该药无效，15人都不得病的可能性只有0.035，这个概率很小，不大可能发生，所以可以认为该药有效．

习题7.3

1．用随机变量表示下列事件：

（1）掷一枚骰子，观察出现的点数，用随机变量表示A=“出现4点”，B=“点数大于4”，用随机变量表示A，B．

（3）从一批灯泡中任取一只，测试它的寿命（寿命用X表示），A=“任取一只寿命不超过1000小时”，B=“寿命在500到800小时之间”.

2．某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.6，它一共投了三次，写出命中次数X的概率分布列．

3．一盒中装有10只晶体管，其中有8只正品，安装半导体收音机时，从这盒晶体管中任取一个测试，取后不放回，直到取出正品为止．求所需测试次数X的概率分布．

4．一大批产品，其废品率为0.01，求任取10件产品，其中有一件次品的概率．

5．设离散型随机变量X的分布列如下表：

求X的分布函数F(x)．