大应用数学：函数极值

实际应用中许多量的变化是波动的，如图2.5所示，各个局部波峰和波谷对应的函数值如果能与附近自变量对应的函数值比较大小，我们就把这种函数值称为极值.

1.极值的概念

设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，对于该邻域内任一点x（x≠x0），如果有f（x）＞f（x0），则称函数y=f（x）在点x0处取得极小值；如果有f（x）＜f（x0），则称函数y=f（x）在点x0处取得极大值.极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

例如，图2.5中，x1，x3，x6是极小值点，x2，x5是极大值点.

必须注意的是：极值是一个局部概念，从图2.5可知，函数的极值可以有多个，极大值可以小于极小值.函数可能取得极值的点有两类，它们是驻点和不可导点.

图2.5(www.xing528.com)

2.函数极值判别法

设函数y=f（x）在点x0处连续，在点x0的某一去心邻域内可导，如果有：

（1）当x＜x0时，f′（x）＞0；当x＞x0时，f′（x）＜0，则函数y=f（x）在点x0处取得极大值.

（2）当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0，则函数y=f（x）在点x0处取得极小值.

显然，极值点也是函数单调区间的分界点.极值点的判别和函数单调区间的判定方法相同.例如，在例2.22中，分析了驻点x1=-1和x2=3左右两侧的单调性，我们就可以得出结论：函数在x1=-1处取得极大值f（-1）=6，在x2=3处取得极小值f（3）=-26.