相关系数的概念及其作用

协方差虽然在一定程度上反映了随机变量X与Y相互间的关系，但是它还受随机变量X与Y本身数值大小的影响.为了克服这些影响，我们引入相关系数的概念.

定义3.6 （X，Y）是二维随机变量，设X和Y的方差均存在，且都不为零，则称

为X与Y的（线性）相关系数.记为ρ或者ρXY.

虽然相关系数ρ与协方差cov（X，Y）在数值上只相差一个倍数，但相关系数是无量纲的，不受所有度量单位的影响，因此，相关系数给出的是随机变量X与Y之间关系的一个相对量，可见随机变量的相关系数就是随机变量“标准化”后的协方差，即

下面来看相关系数的一些性质.

性质1 |ρ|≤1

证明

所以

|ρ|≤1

性质2 |ρ|=1的充要条件是X与Y之间几乎处处有线性关系.

证明 充分性

设(www.xing528.com)

Y=aX+b （a≠0）

则

E（Y）=aE（X）+b D（Y）=a2D（X）

所以

故

|ρ|=1

必要性（略）.

性质3 若X与Y相互独立，则ρ=0，反之不真.

定义3.7 设随机变量X与Y的相关系数为ρ，那么若|ρ|=1，则称随机变量X与Y完全线性相关.若0＜|ρ|＜1，则称随机变量X与Y存在某种程度的线性关系.若ρ=0，则称随机变量X与Y不线性相关.特别的，相互独立的两个随机变量X与Y一定不相关，即ρ必为零

【例2】 若X，Y都是随机变量，且D（X）=25，D（Y）=36，X与Y的相关系数ρ=0.4，求D（X+Y）.

解