无符号数的表示和运算

1.无符号数的表示法

（1）十进制数的表示法

十进制计数法的特点是：

①以10为底，逢10进位。

②需要10个数字符号0，1，2，…，9。

一个十进制数N_D可以表示为如下形式：

式中，m表示小数位的位数，n表示整数位的位数，D_i为十进制数字符号0～9。

例如：246.8D=2×10²+4×10¹+6×10⁰+8×10⁻¹

上式中的后缀D表示十进制数（Decimal），但D可以省略。

（2）二进制数的表示法

二进制计数法的特点是：

①以2为底，逢2进位。

②需要2个数字符号0，1。

一个二进制数可以表示为如下形式：

例如：1010.1B=1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰+1×2⁻¹

上式中后缀B表示二进制数（Binary）。

（3）十六进制数的表示法

十六进制计数法的特点是：

①以16为底，逢16进位。

②需要16个数字符号0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F。其中A～F依次表示10～15。

一个十六进制数可表示为如下形式：

例如：C4BF.2BH=12×16³+4×16²+11×16¹+15×16⁰+2×16−1+11×16⁻²。

上式中后缀H表示十六进制数（Hexadecimal）。

2.数制转换

（1）任意进制数转换为十进制数

二进制、十六进制、乃至任意进制的数转换为十进制数，按式（1-2）、式（1-3）等展开求和即可。

（2）十进制数转换为二进制数

①十进制整数转换为二进制整数。任何一个十进制数转换为二进制数后，都可以表示成为式（1-2）的形式。问题的核心在于求出n及B_i。

下面通过一个简单的例子分析一下转换的方法。例如：

上式也可以表示为

可见，要确定13D对应的二进制数，只需从右到左分别确定B₀、B₁、B₂和B₃即可。显然，从上式可以归纳出以下转换方法，用2连续去除十进制数，直至商等于零为止。逆序排列余数便得到与该十进制相应的二进制数各位的数值。过程如下：

所以13D=1101B。

用与此类似的方法可以完成十进制数至十六进制数的转换，不同的是用16连续去除而已。

②十进制小数转换为二进制小数。根据式（1-2），则有：(www.xing528.com)

0.8125D=B_-1×2⁻¹+B×2⁻²+B_-3×2^-3+B_-4×2⁻⁴

=2⁻¹×{B₋₁+2⁻¹×[B₋₂+2⁻¹×（B₋₃+2⁻¹×B₋₄）]}

由上式可以看出，十进制小数转换为二进制小数的方法是，连续用2去乘十进制小数，直至乘积的小数部分等于“0”。顺序排列每次乘积的整数部分，便得到二进制小数各位的系数B₋₁，B₋₂，B₋₃，…。若乘积的小数部分永不为“0”，则根据精度的要求截取一定的位数即可。0.8125D的转换过程如下：

0.8125D×2=1.625 得出B₋₁=1

0.625D×2=1.25 得出B₋₂=1

0.25D×2=0.5 得出B₋₃=0

0.50D×2=1.0 得出B₋₄=1

所以，0.8125D=0.1101B。

（3）二进制数与十六进制数之间的转换

因为2⁴=16，故二进制数转换为十六进制数只需以小数点为起点，向两端每4位二进制数用1位十六进制数表示即可。例如：

二进制数书写冗长易错，因此一般用十六进制表示一个数，这样比较简洁、方便。

3.二进制数的运算

（1）二进制数的算术运算

一个数字系统只要能进行加法和减法运算，就可以利用加法和减法进行乘法、除法及其他数值运算。

①加法。运算规则为0+0=0，0+1=l+0=1，1+1=10（逢2进1）。例如：1110+1010，从最低位开始将被加数与加数逐位相加，则有：

②减法。运算法则为0-0=1-1=0，1-0=l，0-l=1（0减1不够减，从高位借l作为2，相当于2-1=1）。例如：1110-1001，从最低位开始将被减数与减数逐位相减，则有：

③乘法。运算规则为0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1。

例如：1011×1101，用乘数各位分别乘被乘数后求和，则有：

④除法。运算法则为0÷1=0，l÷1=l。例如：11100111÷1011，其中11100111为被除数，1011为除数。则有：

可见，商为10101

（2）逻辑运算

二进制数的逻辑运算包括“与”运算、“或”运算、“非”运算和“异或”运算。

①“与”运算。“与”运算通常用符号“∧”（或“&”）表示。运算规则为0∧0=0，1∧0=0，0∧l=0，1∧1=l。例如：10110101∧10001001，按位相与，则有：

可见，能用“与”运算保留一些位，而屏蔽掉另一些位。例如，将10101010的低4位保留，而高4位屏蔽掉，则只需将10101010和00001111相“与”即可。

②“或”运算。“或”运算通常用符号“∨”（或“|”）表示。运算规则为0∨0=0，0∨1=1，l∨l=1。例如：11110011∨10011111，按位相或，则有：

可见，能用“或”运算使一些位不变，而使另一些位置1。例如：将01010101的高3位不变，而低5位置1，则只需将01010101和00011111相“或”即可。

③“非”运算。“非”运算通常用符号“-”表示。运算规则为=1，=0。

例如：10110111，按位取反，结果是01001000。

④“异或”运算。“异或”运算通常用符号“⊕”表示。运算规则为0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0。例如：10100101⊕11001100，按位异或，则有：

可见，能用“异或”运算使某些数清零。例如：将10100110清零，只需将10100110和本身“异或”即可。

还可以用“异或”运算比较两个数是否相等。

例如：11101110⊕10111011≠0，所以11101110和10111011不相等。