无约束非线性规划模型应用指南

1. 非线性规划模型

与线性规划不同，非线性规划的目标函数或约束条件至少有一个非线性函数，我们可以概括为如下形式：

满足约束条件的x的取值范围称为可行域。我们知道线性规划的可行解如果存在，则其最优解一定在可行域的边界达到（可行域的顶点达到），但非线性规划与线性规划不同，非线性规划的最优解如果存在，它可能在可行域的任意一点达到。非线性规划一般分为两大类：

（1）有约束的非线性规划。

（2）无约束的非线性规划。没有约束条件，只求目标函数的最值，也即

2. 无约束非线性规划的解法

高等数学中讨论了求二元函数极值的方法，此方法可以推广到无约束非线性规划问题中。

例1 求多元函数f (x ,y)=(6x -x2)(4y -y2)的极值。

解 解方程组

求得驻点(0, 0)，(0, 4)，(3, 2)，(6, 0)，(6, 4)。

求二阶偏导数

得Hessian矩阵

根据Hessian矩阵判断多元函数极值的方法：当A正定时，函数f(x,y)取得极小值；当A负定时，函数f(x,y)取得极大值；A不定时，函数f(x,y)未取得极值；当A半正定或半负定时，函数f(x,y)不能判断是否取得极值，可用其他方法判断。所以，点(0, 0)，(0, 4)，(3, 2)，(6, 0)，(6, 4)不是极值点；(3,2) 为极大值点，对应的极大值为f(3,2)=36。(www.xing528.com)

MATLAB程序如下：

3. 无约束非线性规划的数值解法

对于无约束非线性规划问题min()n f x（x∈R），MATLAB中函数fminunc和fminsearch也可以求解，其基本命令为

[x, fval]=fminunc（fun, x0, options）

其中：返回值x是所求得的极小值点；返回值fval是函数的极小值。fun是一个M函数，当fun只有一个返回值时，它的返回值是函数f(x)；当fun有两个返回值时，它的第二个返回值是f(x)的梯度向量；当fun有三个返回值时，它的第三个返回值是f(x)的二阶导数Hessian阵。x0是x的初始值；options是优化参数，可以使用默认参数。

这个函数只能求给定的初始值x0附近的一个极小值点。

例2 求多元函数f (x ,y )=x 3-y3+2x2+2y2-8x的极值。

解 用函数fminunc和fminsearch来求数值解。

MATLAB程序如下：

求得(1.097 2, 0)为极小值点，对应的极小值为-5.049 0，(-2.430 5,1.333 3)为极大值点，对应的极小值为18.0861。

注：fminsearch只能求得给定的初始值附近的一个极值点。