时间序列模型的建模过程-一般指南

7.1.1.1　时间序列模型的基本组成

由于降水、人工开采以及其他随机因素的影响，使得地下水埋深动态变化往往呈现周期性、趋势性和随机性的变化特点。因此，地下水埋深随时间的动态变化规律可以采用时间序列的通用叠加模型来表示：

式中　H（t）——地下水埋深，m；

T（t）——趋势性变化项（由地下水开采引起），m；

P（t）——周期性变化项（由于降水季节性变化引起的水位反应），m；

R（t）——随机性干扰项，m。

在水文时间序列的非周期成分中，除了可能含有趋势项外，还可能含有突变项。是否含有突变项，可以通过Mann-Kendall方法（刘德林等，2007；向辽元等，2007）进行检验。

一般来说，趋势、周期和随机成分是水文时间序列中的三种主要成分（丁晶，1988），因此，建模过程的主要任务就是从已知实测序列H（t）（t=1，2，…，n）中提取趋势项、周期项和随机项，建立各分项的数学模型，然后进行叠加，就可以得到式（7.1）所示的地下水埋深预测模型。

7.1.1.2　时间序列模型各分项的确定

1.趋势项的确定

趋势项可以采用一个包含对数、指数等函数的多项式来拟合逼近（钱家忠等，2001），即

式中　——趋势项T（t）的估计值，m；

ci——待定系数，i=1，2，…，10。ci可借用Excel软件中现成的回归分析模型采用多元回归方法来求解，或者利用Excel软件直接对原始数据添加趋势线。

为检验拟合结果，需在一定的显著性水平下计算趋势曲线拟合的复相关系数R，若无最佳拟合函数则认为无趋势项或趋势项不显著（杨忠平等，2005）。

2.周期项的确定

趋势项函数确定后，即可从实测序列H（t）中扣除趋势项，进行周期项分析，令

本文采用谐波分析法（付强，2005；杨忠平等，2005），利用傅立叶级数来分析提取周期项函数。序列y（t）可以用L个谐波叠加的形式来表示其估计值，即

式中　——序列y（t）的估计值，将其作为周期项P（t）的估计值，m；

L——谐波个数，取n/2的整数部分；

k——谐波序号，k=1，2，…，L；

ωk——第k个谐波的频率，

a0——序列y（t）的均值，

ak、bk——傅立叶系数，可以按照下式进行计算：(www.xing528.com)

序列y（t）的谐波展开是一种曲线回归拟合，为了节省工作量，通常在L个谐波中选取几个较为显著的谐波相加来估计y（t），这就需要进行显著性检验。

构造统计量F：

式中　——序列y（t）总方差；

——第k波方差对序列总方差的贡献，

统计量F服从自由度为（2，n-3）的F分布。

根据给定的显著性水平（一般取α=0.05），利用Fα检验，就可以确定显著谐波的序号。将确定的显著谐波叠加，就可以得到周期项模型，即

式中　——周期项P（t）的估计值，m；

m——显著谐波的个数。

3.随机项的确定

从实测序列H（t）中扣除趋势项和周期项后，就可以得到随机序列，即

随机序列R（t）一般为平稳随机序列，可以采用自回归模型AR（p）来进行模拟，AR（p）模型的基本形式为：

式中　——随机项R（t）的估计值，m；

μ——随机序列的均值，m；

φk——随机序列R（t）的偏相关系数，k=1，2，…，p；

p——模型阶数；

εt——残差项，m。

建立AR（p）模型一般包括模型类型的选择、正态性转化、模型定阶、参数估计、模型进一步识别和模型检验等步骤，具体方法可以参考文献（Liou T S等，1992；丁晶等，1997；付强等，2003；付强，2005）。

4.时间序列模型的建立

将上述趋势项、周期项、随机项模型叠加，即可得到地下水埋深动态时序模型。

5.时间序列模型精度检验

按照上述方法建立地下水埋深动态时序模型后，在实际应用之前，还需要进行精度检验，具体方法可以参考有关文献。若各项精度评价指标均满足要求，则所建模型的拟合效果较好，预测精度较高，可用于地下水埋深预测，否则需要调整参数，对模型进行分析、修正。