线性代数第2版：正交基与正交矩阵

定义9　设V⊆Rn是一个向量空间，若α1，α2，…，αs是向量空间V的一个基.

（1）若α1，α2，…，αs是一个正交向量组，则称α1，α2，…，αs是向量空间V的正交基.

（2）若正交基α1，α2，…，αs中的每一个向量都是单位向量，则称α1，α2，…，αs是向量空间V的标准正交基.

下面进一步讨论如何把n维向量空间的一个线性无关向量组转化为一个正交向量组，进而求向量空间的一个标准正交基.

定理2　（施密特正交化方法）设α1，α2，…，αm是一个n维的线性无关的向量组，则由下述公式

所得向量组β1，β2，…，βm是一个相互正交的向量组.

证明略.

例6　已知α1=（1，1，0，0），α2=（-1，0，0，1），α3=（1，0，1，0），α4=（1，-1，-1，1）是一个四维的线性无关向量组，将其化为一个相互正交的单位向量组.

解　先由式（3.5.3）将向量组α1，α2，α3，α4正交化，得

再将正交向量组β1，β2，β3，β4单位化，得

则向量组ε1，ε2，ε3，ε4即为所求的相互正交的单位向量组.(www.xing528.com)

定义10　设A为n阶矩阵，若ATA=I，则称A为n阶正交矩阵，简称正交阵.

例如，矩阵都是正交矩阵.

正交矩阵A具有以下性质.

（1）AT=A-1以及A的伴随矩阵A*都为正交阵.

（2）|A|=±1.

（3）n阶矩阵A=（aij）n×n为正交阵的充要条件是A的列向量为Rn的一个标准正交基，即A=（α1，α2，…，αn）为正交阵的充要条件是

（4）n阶矩阵A=（aij）n×n为正交阵的充要条件是A的行向量为Rn的一个标准正交基，

即为正交阵的充要条件是

（5）若A、B为n阶正交阵，则AB、BA也是n阶正交阵.