线性代数：逆矩阵和伴随矩阵之间的关系

定理1　设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当|A|≠0，且

其中A*为A的伴随矩阵.

证　必要性　若A可逆，则有AA-1=I，两边取行列式得，所以|A|≠0.

充分性　由于

由|A|≠0，得

此定理不仅给出了判断矩阵是否可逆的方法，而且提供了当矩阵可逆时，逆矩阵的求法.

当|A|=0时，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.由上面的定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵.

例1　求二阶矩阵的逆矩阵.

利用逆矩阵公式

当|A|=ad-bc≠0时，有

例2　求方阵的逆矩阵.

解　因为，所以A可逆.

例3　设矩阵A、B满足关系式AB=2B+A，且，求B.

所以C可逆.又因为

由定理1可得下述推论.

推论　若AB=I（或BA=I），则B=A-1.

证　因为　(www.xing528.com)

所以|A|≠0，因而A-1存在，于是

注：该推论表明，若A、B都是n阶方阵，且AB=I，则BA=I，即A、B可交换，且A、B互为逆矩阵.

例4　若n阶方阵，其中ai≠0（i=1，2，…，n）.验证

为A的逆矩阵.

例5　设n阶方阵A满足关系式A2+3A-2I=O，证明：

（1）A可逆，并求A的逆矩阵；

（2）A+2I可逆，并求A+2I的逆矩阵.

证　（1）因为　A2+3A=2I，

即

所以A可逆，且

（2）由于（A+2I）（A+xI）=yI，等价于

A2+（x+2）A+（2x-y）I=O.

与已知关系式对比可得

所以A+2I可逆，且

由定理1的证明还可得下面的定理.

定理2　设A为任意n阶方阵，则AA*=A*A=|A|I.