郭书春数学史自选集下册：石信道的《钤经》

《测圆海镜》卷七“明叀前”第2问提到石信道《钤经》。此题是：

或问：丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之。问荅同前。

法曰：以丙行步一百三十五再自之，得二百四十六万〇三百七十五，于上。又以甲行一十六乘丙行幂一万八千二百二十五，得二十九万一千六百；以乘上位，得七千一百七十四亿四千五百三十五万，为三乘方实。以二行步相乘，又倍之，得四千三百二十；以乘丙行步，再自之，数得一百六亿二千八百八十二万，为益从。第一廉空。以甲行乘丙行幂，得二十九万一千六百；又倍之，得五十八万三千二百，于上；四之甲行幂一千〇二十四，以乘丙行步，得一十三万八千二百四十；减上位，余四十四万四千九百六十，为第二廉。二行步相乘，得二千一百六十为虚常法。得丙行步上勾弦差八十一。

草曰^[1]：识别：二数相并，得一百五十一。以减于皇极弦，余一百三十八，即虚勾、虚股并也。若以二数相减，余一百一十九，为高弦内减平弦，又为皇极弦内少个小差弦，又为大差弦内减个皇极弦也。 立天元一为丙行大差数。置丙行步一百三十五，自乘，得18 225，用天元除之太，为勾弦并也。上减天元，得太，为二丙勾也。复用丙南行乘之，得太，为二积也。又以天元除之，得，为丙勾外容圆半。泛寄。别置丙南行，用二甲勾乘之，得4 320太，合用二丙勾除之，不受除，便以此为甲股。内寄二丙勾为分母。复用二甲勾三十二乘之，得138 240太，为二个甲直积也。又置丙南行，内减天元，得-1 135元，为黄方。以自乘，得元，为丙上勾弦差乘股弦差二段。以天元除之，得，为两个丙小差也。乃用甲股乘之，得下式太。复用丙南行除之，得。又折半，得下式，为一个甲步股弦差也。内亦带前二丙勾分母^[2]。复置二个甲直积，内已寄此。甲股弦差分母便为甲步股外容圆半。寄左。乃再置先求到泛寄，用甲股弦差分母乘之，得，为同数。与左相消，得下式。开三乘方，得八十一步，即丙步上勾弦差也。

《钤经》载此法：以勾弦差率幂减丙行差幂，复以丙行乘之，为实。以差率幂为法，如法得径。此法只是以勾外求圆半，合以大差除倍积。而今皆以大差幂为分母也。依法求之，勾弦差八十一。自之，得六千五百六十一。以减于丙行幂一万八千二百二十五，余一万一千六百六十四。复以丙行一百三十五乘之，得一百五十七万四千六百四十，为实。以大差幂六千五百六十一为法。如法，得二百四十步，即城径也。[7]

后面还有“又法”，略。如图，这是已知b11=135，a12=16，求圆径d。其法给出了以c11-a11为未知数x的四次方程：

-a12b11x4+(2a12b211-4a212b11)x3-2a12b411x+a12b511=0

此即-2 160x4+444 960x3-10 628 820 000x+717 445 350 000=0。实际上可以消去a12b11，便成为

-x4+2(b11-2a12)x3-2b311x+b411=0(www.xing528.com)

其草给出了使用天元术推导方程的细草。

圆城图式

问题在于如何理解李冶说的“《钤经》载此法”。李冶指出，《钤经》以公式

求圆径。那么，《测圆海镜》该题的“法”的其他部分与“草”中，有没有《钤经》的内容呢？

有的学者“怀疑这整个方法是取自《钤经》的”[4]，就是说，怀疑此问的“法”与“草”都是《钤经》的。其根据一是此“草”开头列出了几条“识别杂记”的命题，接着却立天元一为丙行勾弦差，此及其下面的运算与这几条命题毫不相干。二是在求得丙行勾弦差之后，可以直接代入勾外容圆半公式求圆径，此处没有这样做，却用《钤经》的方法。还认为，“《钤经》在解决这个问题时，主要是用几何方法。只有当式中的c11-a11不能用几何方法计算的时候，才应用天元术”[4]。

中国数学史界多同意这种看法，只不过有人将这里的“怀疑”换成肯定的口气[8]。

我们认为这个问题还没有解决。按照祖颐在为朱世杰的《四元玉鉴》所作的《后序》中的说法，元裕给《如积释锁》作细草，是天元术之始。《钤经》在元裕之前，不会有明确的天元术。祖颐的记述应该得到朱世杰的首肯。朱世杰对天元术造诣极深，又是宋元时期水平最高的数学家，他首肯的东西，应该是可信的。换言之，《钤经》中会有方程的造术，但是不会有使用天元术的内容。李冶也没有说该法的“草”是引自《钤经》的。传本《测圆海镜》是清刻本，其中“《钤经》引此法”与“草”接排，是不是遵循原著，不得而知。但是，人们将“此法”理解成上面的“法”与“草”。实际上，在《测圆海镜》中，“法”或者是前人的，或者是李冶的，但“草”肯定是李冶的。“草”是李冶对洞渊九容“日夕玩绎”的结果，正因为有了“草”，才会使“向之病我者”，“爆然落去”[9]。因此，此问中的“草”是李冶的，其前的“法”应该是《钤经》的，或者是《钤经》与洞渊测圆门共有的。