实践唯物主义研究：形式化和非形式化系统

3.形式化和非形式化、系统和非系统

知性思维向辩证思维现代“复归”的又一表现就是，它在逻辑上彻底解决了形式化问题。哥德尔的不完全定理埋葬了希尔伯特的形式主义理想，揭示出不完全性、非形式化在逻辑上的合理存在性。

所谓形式，就是事物的内在和外在的结构、有序性、量的比例性。形式化就是试图从结构、有序性、量的比例来全面地表征事物的本质。形式方法在古代就已经运用了。欧几里得几何、形式逻辑都是形式方法的具体化。随着非欧几何对欧氏几何的突破，形式方法的研究进入到一个新的层次。希尔伯特在20世纪初提出了他的形式主义理论，认为以前的形式化只是从直观对象出发，然后归纳出公理，并在公理的基础上进行演绎，而现代的形式系统应该排除明显的直观性，应是一种“假设—演绎系统”。

因此，问题倒过来了，重要的并不在于研究什么样的对象，而在于设定什么样的前提和关系，即设定“论域”，不同的“论域”就会展现出不同方面。希尔伯特以这种前提和关系的形式处理了欧几里得几何，从而消除了欧氏几何的直观性。希尔伯特提出五种关系，即“在……之上”——联结关系，“介于……之间”——次序关系，“合同于”——合同关系，“平行于”——平行关系，“连续”——连续关系，并力图通过对这五种关系的推演，证明欧几里得几何学。显然，希尔伯特的形式方法比欧氏几何公理方法更为普遍，并提出一个形式系统应该包含无矛盾性、完备性、公理的独立性。

希尔伯特的形式主义方法使数学的对象发生了变化，即在某种意义上，数学可以不以客观世界中的“量”和“形”为对象，对象可以是符号系列。人们经过定义，赋予符号系列以各种“规定”、“论域”、“模式”。这些符号系列、形式系统虽然是抽象的，但它们都表征着事物结构。希尔伯特的形式主义思想显然是深刻的，它是古代毕达哥拉斯学派的“数的和谐”和中世纪“唯名论”思想在现代的深化，但他的彻底形式主义的方法并没有得到实现，并受到哥德尔不完全性定理、车赤尔不可判定性定理的破坏。

不完全性是相对于完全性而言的。完全性是指在一个完备的形式系统内，所有普遍有效的命题当且仅当是在这个系统中可以得到证明的。如果在这一形式系统内存在着得不到证明的普遍有效的命题，那么，这一形式系统就是不完全、没有完成的。1931年，哥德尔证明了不完全定理：如果在一个包括初等数论的形式系统中，一切命题都是真的，那它就是有矛盾的；如果这个形式系统是无矛盾的，那它就是不完备、不完全的。

这就是说，只要是一个简单的包含形式算术的系统，就会产生不完全性。那么，比这种含自然数系列、含算术关系更高级的完全系统当然就是更不完全的，它们都包含着自身系统无法自证的命题，即这种证明不能在本系统内完成，要证明这些命题，就必须把这一系统置入更大的系统中；而要证明更大系统对这一系统的证明是正确的，又必须把这个更大的系统置入更大更大的系统之中。实际上，这一过程不可能完成，我们必须无限地进行这项工作，无限地置入“更大更大的系统中”。这是一个无穷量，是永远也不能完成的工作。

1936年，车赤尔又提出不可判定性定理。这一定理认为，包括形式算术系统作为部分的任何形式系统如果是一致的，那么就是不可判定的，也就是说不存在一个程序能判定任一公式是否可证。车赤尔还证明了一阶谓词演算是不可判定的，这就把问题推进了一步，即原来认为一阶谓词演算的普遍有效是可证的，但现在既然没有程序能判定它们是否普遍有效，当然也就无法断定任一公式是否可证。

所有这些，都要求人们在逻辑上必须承认，在任何一个包括初等数论的形式系统中，不可能同时既是无矛盾的又是完全的，无矛盾必然不完备，完备必然有矛盾。可见，这给了希尔伯特形式系统的三大支柱，即“无矛盾性”、“完备性”、“公理的独立性”以毁灭性的打击。换言之，形式化思想本身就立足于矛盾的基础上，既要符合无矛盾又要符合绝对的完全性是不可能的。(www.xing528.com)

哥德尔不完全定理对形式化理想的破坏，也是对知性思维追求自己独立性理想的破坏。在现代，知性产生了破缺，而这种破缺是在符合确定性的原则下产生的，它是符合确定性的对确定性的破坏过程。这样，知性思维向辩证思维的“复归”再也不是采取理性对知性局限性否定的单一形式，相反，这种“复归”是在知性的范围内产生的。这才是真正意义上的“复归”。

与形式化和非形式化、完全性和非完全性相联系的是系统和非系统。现代思维的发展还表现为，当系统论扬弃机械论之后，它又自觉地意识到了非系统的存在：无意识理论、振荡理论、无序理论、测不准原理、不完全定理、相对性原理、主体性原则、非组织理论以及心理、灵感、直觉、幻想、激情、意志等，从各个领域、各个方面揭示出一个与系统世界、系统联系具有不同规范、不同类型的世界，即非系统联系和非系统世界。

非系统的产生，本身是对系统内在矛盾的一种必然反思，因为要真正认识系统，就必须认识非系统，非系统是系统的背面。非系统的内涵较为复杂，“非”本身包含不同于系统、不能归结为系统、与系统对立三重含义。在一般意义上，非系统指没有系统，或者失去了系统联系，或者使系统的破缺口扩大，从而不能形成系统，或者本身就是系统的对立面，即混乱、混沌、模糊。系统与非系统是相互联系的，就其同一性而言，双方同属于辩证法“联系”范畴系列中的子范畴群，是“联系”范畴的引申、分化和发展，是“联系”范畴特殊化的表现。按照辩证法的联系观点，一物可以失去某一“系统”，但不可能失去与他物的“联系”，它可能转化为“联系”的另一种形式——“非系统”。

从总体上看，系统与非系统表现为两种特点不同、方向不同的运动过程：（1）非系统是物质本身的一种具有方向性的（下向的）运动过程，它与整体化、有序化、自组织化和多样化所构成的系统化方向（上向的）相反，是一种混乱、无序化和无系统化的方向；（2）非系统是物质运动的一个方面，即与有序方面对立的无序方面，从思维发展来说，它是与理性对立的非理性方面，与逻辑对立的非逻辑方面；（3）非系统是物质运动的一种状态（阶段），相对于系统而言，它属于一种混乱、混沌、振荡状态，与系统状态分属于不同的类型；（4）非系统又表现为与系统原则不同的另一种思维原则，即非系统原则。这种思维原则的特点是不让系统成形、完成，或者对既成的系统进行否定，如相对性原则、不完全性原则、测不准原则、悖论原则、主体性原则、互补性原则等，现代思维若不包含这些非系统原则，就会出现“思维缺环”的现象。

作为物质运动中的一种状态，非系统首先表现为混沌、混乱状态。人们通常从系统的角度考察问题，把混乱、混沌仅仅归结为系统度极低的状态。实际上，这是一种片面的观点。波耳兹曼自由能公式表明，混乱作为独立状态在理论上可以成立。自由能公式是：F＝E－TS，其中F是自由能，E是内能，S是系统的熵，T是绝对温度。这一公式的正确性已被实践所证明，并能够得出如下结论：（1）如果T是绝对零度，那么，TS（熵）就应等于零，这时信息量无限大，事物处于标准的理想的绝对有序状态，即F＝E（TS为0）；（2）如果T是无限的高温，那么TS就会无限大，这时信息量等于零，事物处于标准的理想的绝对混乱状态。因此，在理论上，我们可以得到系统与非系统两极对立的状态。

非系统的根本特点是系统破缺。系统之所以是系统，是由要素的相关作用形成了整体性，因而系统成为系统质、关系质的体现者。但是，系统的产生也就形成了“系统悖论”，即任何系统本身必须成为一个整体，这才有系统可言；同时，任何整体又是更大系统中的要素，是一个无穷量，它表明系统永远不能完成，换言之，系统不是系统。这样一来，所谓系统只是相对于本身的要素而言，一旦跨入更大的系统，本身又转化为要素。由此可见，系统本身就是一个悖论，系统本身不能成为系统，系统一旦系统化，它就把事物的相互联系、相互作用切断了。

可以说，任何系统都存在着三种非系统的作用力：（1）系统内部自发存在的“熵增加”破坏着系统的存在，系统要存在下去，就必须与外界进行物质、能量、信息的交换，吃进“负熵流”，以克服“熵增加”；（2）高级系统总是把低级系统纳入到自己的运行范围内，使低级系统服从高级系统，因而事物的发展表现为高级系统的系统化以低级系统的非系统化为前提，这就构成了系统化与非系统化的两极运动；（3）系统与系统之间又存在着相互作用，一个系统必然存在于整个不同系统的横向网络中，这一横向网络使系统本身发生变形，所以系统总是相对的，总是存在着某种破缺、不完全。

现代思维的发展揭示了系统的破缺和不完全，从而把非系统作为系统的对立物。知性思维的现代化产生了“是”与“非”之间的变化，“非”成为“是”的界限，“非”已经成为某种类似“熵”的东西，它是“是”的反面。申农信息量公式与热力学第二定律的熵公式形式上完全一致，但符号完全相反，即一是负值，一是正值，二者之间构成了一种奇特的统一。所以，信息只是等于被消除的熵。在这一意义上，信息也就是负熵。从现代思维的发展来看，系统与非系统、形式与非形式已经成为衡量思维广度与深度的尺度。现代思维对“非”的观念的变革是知性思维向辩证思维“复归”的一个中介点。