凯恩斯的概率论：《人类的知识》总结

第五章　凯恩斯的概率论

凯恩斯的《概率论》（1921）提出了从某种意义上讲与频率说正好相反的一种理论。他主张演绎中所用的那种关系，即“p蕴涵q”是一种也许可以叫作“p多少蕴涵q”的关系的极端形式。“如果关于h的一种知识”，他说，“证实一个具有α程度的对于a的合理信念，我们就说在a和h之间存在着一种具有α程度的概率关系”。我们把这种关系写成：“a/h＝α”。“在两组命题之间存在着一种关系，凭借这种关系，如果我们知道了第一组命题，我们就可以把某种程度的合理信念加给后一组命题。”概率基本上是一种关系：“说‘b是可能的’和说‘b等于’或‘b大于’是同样没有用处的。”我们可以从“a”和“a蕴涵b”得出“b”的结论；这就是说，我们可以完全不谈前提而只肯定结论。但是如果a对于b的关系使得关于a的一种知识把对于b的一种概然的信念变得合理化，我们就不能对于与a无关的b做出任何结论；没有任何相当于证明推理中废除一个真的前提的东西。

按照凯恩斯的说法，概率是一种逻辑关系，这种关系也许只有用合理信念的程度的说法才能得出定义。但是从总的方面看来，凯恩斯却倾向于用概率关系的说法来给“合理信念的程度”下定义。他说合理的信念是从知识得来的：我们对于p有α程度的合理信念，这是因为我们知道某个命题h并且还知道p/h＝α。由此可以看出具有“p/h＝α”这种形式的某些命题一定在我们的前提之内。我们的知识一部分是直接得到的，一部分是从论证得到的；我们从论证得到的知识来自具有“p蕴涵q”或“q/p＝α”这种形式的命题的直接知识。在每一个经过充分分析的论证中，我们一定具有关于从前提到结论的关系的直接知识，不管它是蕴涵关系还是某种程度的概率关系。关于h和p/h的知识引出对于p的一种“适当程度的合理信念”。凯恩斯明确地假定一切直接的知识都是必然的，而够不上必然性的合理信念只有在我们觉察到概率关系时才能发生。

按照凯恩斯的说法，一般说来概率是不能以数值来度量的；那些可以用数值来度量的概率是概率中很特殊的一类。他认为一个概率与另外一个概率可能不可以进行比较；换句话说，一个概率可能不大于也不小于，然而又不等于另外一个概率。他甚至认为就已知证据来讲，有时不可能比较p和非p的概率。他的意思并不是说我们的知识不足以做到这一点；他的意思是说实际上并不存在相等或不相等的关系。他是照下面的几何图式来想象概率的：取两个点，分别代表不可能性的0和必然性的1；然后我们就可以想象可以用数值来度量的那些可能性位于0与1之间的直线上，而其他的概率则位于从0到1之间的不同弯曲路线上。对于同一条路线上的两个概率，我们可以说比较接近于1的较大，但是我们对于在不同路线上的概率却不能进行比较，除非两条路线相交，这种情况也是可能发生的。

像我们已经看到的那样，凯恩斯需要有关概率命题的直接知识。为了在获得这类知识上做出一个起点，他考察并修正了一般所谓的“不充足理由原理”或者按照他的说法“无差别原理”。

就其大意来讲，这个原理说如果没有已知理由选择几种可能当中一种而不是另外一种可能，那么这些可能就是同样可能的。在这种说法下，像他所指出的那样，这个原理产生矛盾。举例说，假定你一点也不知道某一本书的颜色；那么它是蓝色或不是蓝色的机会相等，因而各是1/2。同样它是黑色的机会也是1/2。所以它是蓝色或黑色的机会是1。由此可以得出凡书不是蓝色就是黑色的结论，而这是荒谬的。或者假定我们知道某一个人不是居住在大不列颠就是居住在爱尔兰；我们将把这些作为我们的可能选择，还是将把英格兰、苏格兰和爱尔兰，或者将把每个郡看作具有同样可能的地方？或者如果我们知道某种物质的比重介乎1与3之间，那么我们将把1到2和2到3之间的间隔当作同样可能的比重吗？但是如果我们研究比容，那么1到2/3和2/3到1/3之间的间隔将是我们的自然的选择，这将使比重具有介乎1和3/2之间或者3/2和3之间的相等机会。这类悖论可以无限地增多。

凯恩斯并没有因为这个理由而完全抛弃无差别原理；他认为我们可以这样叙述这个原理，使它一方面避免上面所说的各种困难，一方面仍然有用。为了这个目的，他首先给“无关”下定义。

大致说来，一个不改变概率的附加前提是“无关的”；这就是说，如果x/h₁h＝x/h，那么h₁对于x和h来说是无关的。例如，一个人的姓以M开始这件事实对于他的生死机会来说就是无关的。可是上面的定义多少有些过于简单，因为h₁可能由两部分组成，其中一部分增加x的概率而另一部分却减少x的概率。举例说，一个白种人生存的机会由于居住在热带而减少，但是由于成为一个完全戒酒的人而增加了生存的机会（或者人们是这样说的）。事实可能是在热带居住的完全戒酒的白种人的死亡率跟一般白种人的死亡率一样，但是我们不应当说作为一个居住在热带的完全戒酒的人是无关的事情。所以，我们说h₁对于x/h来说是无关的，如果h₁当中任何一部分都不改变x的概率的话。

现在凯恩斯用下面的说法来叙述无差别原理：a和b相对于已知证据的概率是相等的，如果关于a的有关证据都说明存在着关于b的相应的证据；这就是说，a和b关于这种证据的概率是相等的，如果这种证据关于a和b是对称的话。

可是这里还要添上一项比较困难的条件。“我们必须把那些事例除外，在它们当中所涉及的各种选择之一本身就是同一形式的次一级的各种选择的析取命题。”如果这个条件得到满足，这些选择相对于这种证据来说就叫作不可分的。凯恩斯给“可分的”下了下面的正式定义：一个选择φ（a）相对于证据h来说是可分的，如果已知h，而“φ（a）”和“φ（b）或φ（c）”意义相等，这里φ（b）和φ（c）是不相容的，但当h为真时每个都是可能的。这里φ（a），φ（b），φ（c）都是同一命题函项的值，这是很重要的一个条件。

这样凯恩斯最后把下面这个原理当作一个公理接受下来，即根据已知证据，如果（1）这种证据关于a和b是对称的，（2）相对于这种证据来说，φ（a）和φ（b）是不可分的，那么φ（a）和φ（b）就具有相同的概率。

经验主义者对于上面的理论可能提出一个一般性的反对理由。他们也许可能说这个理论所要求的关于概率关系的直接知识显然是不可能的。演绎的证明逻辑——这种论证可能这样说——之所以可能是由于它由重言式组成，由于它只不过是换一下文字来重新叙述我们原来就有的命题。如果它所做的超过了这一点——比方说如果它从“凡人皆有死”推论出“苏格拉底是有死的”，那么它依靠的是关于“苏格拉底”这个词的意义的经验。只有重言式可以不靠经验得知，凯恩斯并没有主张他的概率关系是重言式。那么他的概率关系是怎样得知的？因为显然它们不是从经验得知的，这是按照关于知觉的判断是从经验得知的那种意思来说的；人们也承认概率关系当中有一些并不是推论出来的。因此，如果人们承认的话，概率关系会构成经验主义认为不可能的一种知识。

我对于这个反对理由抱有很大同情，但是我并不认为我们可以认为它具有决定性的意义。如果我们来讨论科学推论的原理，我们就将发现：除非我们具有某种如果照严格意义来讲的经验主义为真就不会有的知识，否则科学就是不可能的。不管怎样，我们不应当武断地假定经验主义为真，虽然我们努力找寻可以与经验主义相容的关于我们的问题的答案是合理的。因此上面的反对理由不应该让我们完全抛弃凯恩斯的理论，尽管它对于我们接受凯恩斯的理论形成一定的阻力。

关于凯恩斯似乎不曾加以充分注意的一个问题存在着一种困难，即关于前提的概率是否赋予已经成为可能的命题以合理的可信性，并且如果事实是这样的话，又是在什么外界条件下发生的？凯恩斯认为说“很可能有p”和说“p等于”或“p大于”同样没有意义。照他的讲法，没有任何相当于演绎推论中废除一个真的前提的东西。然而他却说如果我们知道h，并且我们还知道p/h＝α，我们就有理由给p以“适当程度的合理信念”。但是当我们这样做的时候我们就不再是表示p对于h的一种关系；我们是在用这种关系来推论出关于p的某种情况。我们可以把这种情况叫作“合理的可信性”，并且我们可以说：“p在α程度上是合理可信的。”但是如果使这句话成为关于p的一个真的叙述，而无须提到h，那么h就不能是任意规定的。因为假定p/h＝α，p/h′＝α′；假定h和h′都是已知的，我们将给p以α程度还是α′程度的合理可信性？就我们知识的任何特定状态来说，这两种答案都不可能同时正确。

如果“概然性是人生的指南”这句话是真理，那么就我们知识的任何特定状态来说，必然有一个概率比任何其他概率都更紧密地与p结合在一起，而这个概率对于任意规定的前提来说都不是与之相关的。我们必须说这个概率就是在我们把h当作我们的全部有关知识时所得出的概率。我们可以说：已知作为某个人的必然性知识的任何一组命题，并把这组命题的合取命题叫作h，那么就有许多不是这组命题的分子的命题对这组命题具有概率关系。如果p是这样一个命题，并且p/h＝α，那么α是就那个人来说的属于p的合理可信的程度。我们一定不能说如果h′是所说的那个人所知道的某个真的命题，但不及h，并且如果p/h′＝α′，那么就那个人来说，p具有可信度α′；它对于一个可以用h′表示他的全部有关知识的人来说，将只具有这种可信度。可是这一切凯恩斯无疑是会全部承认的。事实上，反对理由只是针对叙述上的不够严密，而不是针对这个理论的基本要点。

一个更为重要的反对理由是关于我们认识p/h＝α这类命题的方法。我现在并不是先验地论证我们不能认识它们；我只是探讨我们怎样才能认识它们。我们可以看到如果我们不能给“概率”下定义，那么就必然有不能证明的概率命题，因此如果我们要承认这些命题，我们就必须把它们当作我们的知识的前提的一部分。这是所有以逻辑方式表达的系统的一个共同特点。每个这类系统必然要从一组未下定义的名词和未加证明的命题开始。显然一个未下定义的名词不能在一个推论出来的命题中出现，除非它已经在未加证明的命题中至少有一个命题中出现过，但是一个下过定义的名词却不需要在任何未加证明的命题中出现。例如，只要人们认为算术中有未下定义的名词，那么就必然也有未加证明的公理：皮阿诺有三个未下定义的名词和五个公理。但是如果我们给数和加法下逻辑的定义，算术就不需要在逻辑的未加证明的命题之外再有什么未加证明的命题。所以就我们所研究的实例来说，如果我们能给“概率”下定义，那么凡是出现这个字眼的命题可能都可以通过推论得出；但是如果不能给它下定义，那么如果我们想要知道有关它的知识，就必须有一些包含这个字眼的命题，而我们认识这些命题并不需要外来的证据。

凯恩斯拿什么样的命题作为我们概率知识的前提这一点并不十分清楚。我们直接认识具有“p/h＝α”这种形式的命题吗？如果概率不能以数值计算，那么α是什么东西？或者我们只认识等式和不等式，即p/h＜q/h或者p/h＝q/h？我认为后者是凯恩斯的看法。如果这样的话，这门学科的基本事实就是三个而不是两个命题的关系：我们应该从一种三元关系开始

　　P（p，q，h），

意思是说：在已知h的条件下，p的概率小于q的概率。然后我们也许可以说“p/h＝q/h”的意思是“既不是P（p，q，h）也不是P（q，p，h）”。我们应当假定当h不变时，对于p和q来说，P是不对称的和传递的。凯恩斯的无差别原理如果被我们接受的话，它将使我们能够在某些外界条件下证明p/h＝q/h。就凯恩斯认为正确的限度来看，概率计算可以在这个基础上建立起来。

上面的等式定义只有在p/h和q/h可以比较时才能采用；如果（像凯恩斯认为可能那样）其中一个既不大于另一个，而它们又不相等，我们就必须抛弃这个定义。我们可以通过关于两个概率一定可以比较的外界条件的一些公理来解决这个困难。如果它们可以比较，那么它们就位于从0到1之间的一条路线上。在上面的“p/h＝q/h”的定义的右边，我们就必须补充说p/h和q/h是“可以比较的”。

让我们现在重新叙述一下凯恩斯的无差别原理。他所要做的是建立使p/h＝q/h成立的外界条件。他说这种情况将在两个条件（充分的但却不是必要的）得到满足的情况下发生。设p为φ（a）并且q为φ（b）；那么对于a和b来说，h一定是对称的，而φ（a），φ（b）一定是“不可分的”。(www.xing528.com)

如果我们说h对于a和b来说是对称的，我们的意思大概是说如果h具有f（a，b）这种形式，那么

　　f（a，b）＝f（b，a）。

这种情况特别发生在f（a，b）具有g（a），g（b）这种形式时，这也就是当h提供的关于α和b的知识是由分立的命题所组成，其中一个命题是关于α的而另一个命题是关于b的，并且两者都是一个命题函项的值的时候的情况。

我们现在设p＝φ（a），q＝φ（b），h＝f（a，b）。我们的公理的大意一定是在一种适当的规定条件下，它使得φ（a）和φ（b）的交换不产生任何差别。这就得出

　　φ（a）/f（a，b）＝φ（b）/f（a，b），

假定φ（a）和φ（b）对于f（a，b）来说是可以比较的话。这个结果得自这个一般原理

　　φ（a）/ψ（a）＝φ（b）ψ（b）；

也就是说，这个结果得自这个条件：概率依靠的不是个别主词而是命题函项。顺着这些想法，我们似乎有希望得出也许比凯恩斯的原理更加不证自明的无差别原理的一种形式。

为此让我们研究一下他的不可分性的条件。凯恩斯把“φ（a）是不可分的”定义为有两个项目b和c使得“φ a”和“φ b”或“φ c”具有相同的意义，并且φ b和φ c不能同时为真，而φ b，φ c在已知h的情况下都是可能的。我认为这并不完全符合他的原意。我认为如果我们假定a和b和c是类，其中a是b与c的和，我们就更加接近他的原意。在这种情况下，φ一定是一个以类为其项目的函数。例如，设a是靶子上一块面积，分为b和c两部分。设“φ a”是“a上面被打中的某一点”，并且“ψ a”是“a上面被瞄准的某一点”。那么ψ a就上面的意义来说就是可分的，并且我们得不出

　　φ a/ψ a＝φ b/ψ b，

因为显然φ a/ψ a大于φ b/ψ b。

但是关于我们的前一个条件，即h对于a和b来说应该是对称的，并不是充分的条件这一点我们还不清楚。因为现在h包括“b是a的一部分”这个命题，而这个命题并不是对称的。

凯恩斯讨论了φ a/ψ a＝φ b/ψ b的条件，并且给我们提供了一个失败的例子，在这个例子中φ x＝x是苏格拉底。就这个实例来说，不管ψ x可能是什么，

　　φ（苏格拉底）/ψ（苏格拉底）＝1

而如果b不是苏格拉底，φ b/ψ b＝0。为了排除这种情况，我立下一条规定，即“φ x”一定不包括“a”在内。举一个类似的例子，设φ x＝x杀死a，ψ x＝x住在英国。那么φ a/ψ a就是a的自杀的可能性，如果a是英国人的话，而φ x/ψ x一般来说就是a被某个名叫x的英国人所谋害的可能性。显然在多数情况下，φ a/ψ a大于φ bψ b，因为一个人杀死自己的可能性比杀死另外一个任意选择的人的可能性要大。

这样，最重要的条件看来似乎是“φ x”一定不包括“a”或“b”在内。如果这个条件被满足，我就看不出有任何理由得不到

　　φ a/ψ a＝φ b/ψ b。

我的结论是，无差别原理真正断言的是命题函项之间而不是命题之间的一种关系。这就是“一次任意的选择”这类说法所表示的意思。这个说法所表示的意思是：我们要把一个项目仅仅当作一个满足某一命题函项的项目；所以我们说的话实际上只是关于命题函项而不是关于命题函项的这个或那个值的。

然而还存在着某种为我们关心的重大问题。已知两个命题函项φ x和ψ x之间的一种概率关系，我们可以把这种关系当作φ a和ψ a之间的一种关系，只要“φ x”和“ψ x”不包括“a”在内的话。这是在概率的全部实际应用上一个必要的公理，因为这样一来我们所要研究的问题才是个别的事例。

我的结论是：凯恩斯的概率论的主要形式上的缺点在于他把概率当作命题之间而不是命题函项之间的一种关系。我认为应用到命题上面属于这个理论的用途而不属于这个理论本身。