完全信息动态博弈的应用与例子

一、动态与完全信息

完全信息是指自然不首先行动或自然的初始行动没有不确定性，并且自然的确定选择是参与人的公共知识。在本章中以完全信息作为基础，至于不完全信息的众多形态在此不必去考虑，下一章将会详细讨论。

动态博弈是指参与人行动有先后顺序的博弈。最简单的情况是两个参与人，其中一人先行动，另一人后行动且参与人只行动一次。当然，一般动态博弈会有交叉顺序行动的情况，象棋就是一个动态博弈。动态博弈中，当轮到某一方行动时，他掌握了多少前面进行的博弈的信息是重要的。为了说明这一点，我们来考虑这样一个游戏，一人盖住硬币，一人猜，如果猜的人没有任何信息可用，这等价于静态博弈。如果在盖住硬币的过程中你在观察，比如盖住正面向上时往往有可能会有一个小动作，比如盖正面时双手盖得更紧，这时你获得了一些信息，已经不能等同于静态博弈了。但这一信息却不能让你肯定确切的结果。也许正面的可能性大一些，但也未必是正面。像这种区别于静态，但又不能确知先行动者具体行动选择的情况，我们称之为不完美信息。完美信息就是已经行动的参与人所选的具体行动是参与人的共同知识。比如象棋中，轮到某人下时，过去的每一步是什么是公开的，也就是完美信息。不完美信息在实际中很多，比如两家竞争的企业，其中一家已制定了产量计划并且执行，你可以观察到一些信息来推断计划的具体情况，但这种信息可能不足以确定计划的具体情况。

本章先讨论最简单的动态博弈，在完美信息的假设条件下进行讨论。

理论上说，动态博弈可以在策略的意义下转化为静态博弈，这时的策略就是相机选择行动的一个整体规则。

但是，我们可以用更能反映动态特征的扩展式方法来描述动态博弈，这种方法的优点是直观，便于理解，扩展式描述的本质就是图论中的树。

下面介绍扩展式描述规则，先用例子开始讨论。

二、动态博弈的扩展式描述

我们来讨论田忌与齐王赛马中的博弈，为使问题简单，我们假设，齐王和田忌赛两局，分别由上马，下马参赛，田忌也是上马与下马参赛。田忌的上马优于齐王的下马，劣于齐王的上马。田忌的下马劣于齐王的下马。并且每一局比赛齐王先牵出马，田忌可在齐王出马后再选马，胜一局有一个单位的收益。

这个博弈可以看成有四个阶段构成的动态博弈。第一个阶段齐王先选出马，第二阶段田忌选出马，第一局比赛的过程可以忽略，因为马的匹配被认为结果给定，第三阶段齐王选出第二局的马，第四阶段田忌选出第二局的马。由于只有两匹马的比赛，实际上第三阶段，第四阶段已经没有选择的余地，第二局的结果也没有什么悬念，所以，这一博弈实际上由第一阶段齐王的决策及第二阶段田忌的决策决定。以齐王作为参与人1，田忌作为参与人2，可用下面的树描述。

图3.1 两马比赛等效树

树上的下面的两支分别表示齐王的两种可选择的行动，表示参与人1行动点，而表示博弈的开始点，表示参与人2的行动点，下面的枝表示行动。最后的结束点加一个小黑点表示不再有后继的行动。相应的括号内的数字表示各阶段行动后博弈的收益结果，如

这一支是指齐王第一次选择了上马，田忌在跟着也选择了上马，根据此，第二局已没有选择余地，齐王胜了两局，田忌失了两局，其他的类推。当然，如果读者不厌其烦，整个过程可以表示成图3.2的树。其本质与图3.1是等效的。

图3.2 两马比赛原过程

扩展式描述就是指把动态博弈用树的形式表示出来的模式。

在扩展式描述中一般用带数字的圆圈表示参与人的行动点，圈内数字所代表由哪个的参与人的动，称之为结点，用双圈“”表示博弈起点。结点之下的线段表示参与人的可选行动，有几种可选行动就有几条支线，称为枝，枝下方的结点有两种可能情况，一种是博弈的另外参与人的行动起点，另一种情况是博弈结束点，在线段之后加一个小黑圆圈表示结束点，结束点之下需要标出各参与人的收益。非终点的结点称为决策结。

某一结点X的后续结是指已经到达了X，之后的博弈中可以到达的结。X的前续结是指到达X之前必须到达的结点。这些概念在图上是很直观的。没有前续结的结点就是博弈的起点，即最早行动的参与人的行动点，没有后续结的结点就是终点结，实际是指终点结之后不再有任何行动，博弈已经结束。(www.xing528.com)

由初始结点到任一终点结与枝之间由一连串的结点与枝构成了一条路径。一条路径，实际上指出了博弈实际进行的一种方式，当然，由于终点结一般不止一个，因此会有许多条路径。所有的路径实际上展示了博弈实际进行的所有可能的情况。

扩张式表示的博弈实际上是一个有向图。一般按阶段进行描述时不会引起方向上的混乱，我们不再用抽象的图论语言进行描述。

三、扩展式与策略式的对应

动态博弈的扩展式描述直观，便于理解。实际上，动态博弈用策略式描述时就可以转化为静态博弈，就是把动态的特征包含在策略中，能以策略的形式给出行动选择的规则，虽然两种表达方式都可以采用，但博弈有很多的阶段时，策略式表示往往比较困难。也可能丢失一些顺序的信息。

前面已介绍，策略就是行动选择的规则，某一参与人的策略，在动态博弈中就是规定在参与人行动的各个阶段，制定出选择行动的计划。而由于有先前博弈的信息可利用，因此，策略就是对各种可能发生的情况都规定行动选择的规则，我们仍然用图3.1来说明这种关系。

由于齐王先行动，他并没用可利用的信息，因而策略就简化为“上马”与“下马”这两种策略，记G1为“先出上马”，G2为“先出下马”。

田忌将会面临着齐王的不同策略的两种情况，尽管行动也是选出一马，但策略需考虑齐王所有可能的行动情况来制订，而尽所有可能只有四种策略。四种策略分别是：

J1：如果齐王先出上马，我也出上马；如果齐王先出下马，我也出下马。这一策略等价于“跟着齐王选择”。

J2：如果齐王先出上马，我先出下马；如果齐王先出下马，我先出上马。等价于“与齐王对着干”。

J3：如果齐王先出上马，我先出上马；如果齐王先出下马，我还是先出上马。等价于“无论齐王选什么，我都先出上马”。

J4：如果齐王先出上马，我先出下马；如果齐王先出下马，我还是先出下马。等价于“无论齐王选什么，我都先出下马”。

J1，J2，J3，J4已经穷尽了田忌的所有可能策略。当齐王选择G1，田忌选择J1时，博弈的实际情况是齐王先出上马，田忌也先出上马，下一局必然是下马对下马，这时可以看到图3.1中最左边的一条路径。如果齐王选择G2，田忌出J1，则对应最右边的一条路径。显然，G1与J3的策略组合出现的结果也是最左边的路径，所以不同的策略组合对应了相同的路径，这表明，单纯的在博弈树中的实际路径，并不能完全反映出策略选择。实际上，策略在相对应的行动结点都有意义，而实际没有走到哪个结点时，就反映不了战略的意义。这一点在后面的子博弈中再讨论。

可以把表3.1的动态博弈等价于下面的策略式博弈，如下表3.1。

表3.1 二马比赛的策略式表示

可以分析出，（G1，J2）与（G2，J2）是纳什均衡，实际上J2是田忌的（非严格）占优策略，所以齐王的策略在这种博弈结构下是无效的。（G1，J2）的策略实施导致了图3.1的左边路径（G2，J2）的实施对应了图中右边的路径。