独立事件与条件概率

独立事件与条件概率

1.独立事件

定义4 若事件A的发生与否不影响事件B的发生，则称事件A与事件B相互独立.

定理2 两个事件A与B相互独立的充要条件是

定义 5 若n个事件A1，A2，…，An 中任何一个事件Ai的概率都不受其他n-1个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，…，An 相互独立.

定理3 一组事件A1，A2，…，An 相互独立的充要条件是

【例6】某机械零件加工需要两道工序，第一道工序的废品率为0.015，第二道工序的废品率为0.02.假设两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率.

解 设A1=“第一道工序合格”，A2=“第二道工序合格”，A=“产品合格”，则A=A1A2.由题意，A1与A2相互独立，有

所以，产品的合格率为96.5%.

2.条件概率

定义 6 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为在B发生下A发生的条件概率，记作(www.xing528.com)

注意：是在一定条件下A发生的概率，只是它的条件除原来的以外，又附加了一个条件即B已经发生.

【例7】全班100名学生中，有男生（记作A）80人，女生20人；来自北京的（记作B）有40人，其中女生8人，男生32人；免修英语的（记作C）20人中有8名女生，12名男生.试写出P（A），P（B），P（C），

解　由题意，有

定理 4 两个事件A与B积的概率，等于其中任一事件的概率乘以另一事件在前一事件发生下的条件概率，即

该公式称为概率的乘法公式.

注意：当且仅当时，事件A与事件B相互独立.

【例8】在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，问从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率.

解 设A=“买一个灯泡是甲厂生产的”，B=“买一个灯泡是合格品”，则AB=“从市场上买一个灯泡是甲厂生产的合格品”.由乘法公式得

【例9】一批零件共100个，其中有10个次品，每次取1个，取后不放回，求第二次才取到次品的概率.

解 设A1=“第一次取到正品”，A2=“第二次取到次品”，A=“第二次才取到次品”，则A=A1A2.所以，第二次才取到次品的概率为