总体样本及其意义

1.总体

在数理统计中，把具有一定共性的研究对象的全体称为总体，其大小与范围随具体研究和考察的目的而定.构成总体的每一个成员称为个体.总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量有限的总体称为有限总体；容量无限的总体称为无限总体.总体与个体之间的关系，即集合与元素的关系.

例如，考察某学校一年级新生的成长参数（身高、体重等），则该校一年级的全体新生就构成了一个总体，每一名新生的成长参数（身高、体重等）就是一个个体.又如，研究某灯泡厂生产的一批灯泡的质量，则该批灯泡的全体构成了一个总体，其中每一个灯泡就是一个个体.

定义1　统计学中称随机变量X为总体，并把随机变量的分布称为总体分布.

注意：（1）有时个体特性的直接描述并非是数量指标，但总可以将其数量化.如检验某学校全体学生血型试验的结果有O型、A型、B型、AB型4种，若分别以1、2、3、4依次标记这4种血型，则试验的结果就可以用数量来表示了.

（2）总体的分布一般来说是未知的，有时即使知道其分布的类型（如正态分布、二项分布等），也不知道这些分布中所含的参数（如μ，2σ，p等）.

2.样本

按一定原则从总体中抽取若干个体进行观察，这个过程称为抽样.显然，对每个个体的观察结果是随机的，可将其看成是一个随机变量的取值，这样就把每个个体的观察结果与一个随机变量的取值对应起来了.于是，我们可记从总体X中第i次抽取的个体指标为Xi，则Xi是一个随机变量，用xi表示个体Xi的具体观察值（i=1，2，…，n ），称X1，X2，…，Xn为总体X的样本，称样本观察值x1，x2，…，xn为样本值，样本所含个体数目称为样本容量.

抽样通常有两种方式：一种是不重复抽样，即每次抽取一个不放回去，再抽取第二个，连续抽取n次，构成一个容量为n的样本；另一种是重复抽样，即每次抽取一个进行观察后放回去，再抽取第二个，连续抽取n次，构成一个容量为n的样本.如果总体为无限总体，抽取有限个后不会影响总体的分布，在这种情况下，不重复抽样与重复抽样没有什么区别.在实际应用中，如果总体中个体的个数很大，而样本容量相对较小（一般不超过总体的5%），则认为总体是无限的.

1）机会均等原则(www.xing528.com)

在随机抽样中，要求从总体中任取部分个体，这里“任取”二字就是要求每个个体被抽到的机会均等，或者说被抽到的概率相等.

2）独立性原则

在每次抽取样本时，应保持总体成分不变，前一次抽取的结果不能影响后一次抽取的结果.重复抽样及在无限总体情况下不重复抽样可以认为符合独立性原则.

3）代表性原则

从总体中抽出的每个个体应与总体具有相同的分布.

定义2 按照机会均等原则、独立性原则和代表性原则进行的抽样称为简单随机抽样，按简单随机抽样抽取的样本称为简单随机样本，简称样本.

注意：（1）如无特殊说明，本书中所提到的样本都是简单随机样本.在有限总体中，采用重复抽样抽取即可得到简单随机样本；在无限总体中，采用不重复抽样方式即可得到简单随机样本.当有限总体含有的个体数目相当大时，也可采用不重复抽样，得到近似的简单随机样本.

（2）容量为n的样本就是n个相互独立，且与总体有相同分布的随机变量X1，X2，…，Xn .通常把样本看成是一个n元随机变量（X1，X2，…，Xn ），而每一次具体抽样所得的数据就是n元随机变量的一个观察值（样本值），记作（x1，x2，…，xn ）.一个容量为n的样本具有双重意义：一是指某一次抽样的具体数（x1，x2，…，xn ）；二是指一次抽取的可能结果，这就是一个n元随机变量（X1，X2，…，Xn）.