决策树模型是风险决策问题的一种直观的图示法.因为图的形状像树，所以被称为决策树.若所要决策问题只需进行一次决策就可解决，称为单阶段决策问题；如果问题比较复杂，要进行一系列的决策才能解决，就称为多阶段决策问题.决策树表示法方便简捷、层次清楚，能形象地显示决策过程.
决策树的结构如图3-20所示.图中的方块代表决策节点，通常用R表示.从它引出的分枝称为方案分枝.每条分枝代表一个方案，分枝数就是可能的方案数.圆圈代表方案的节点，从它引出概率分枝，每条概率分枝上标明了自然状态及其发生的概率.概率分枝数反映了该方案面对的可能的状态数.末端的三角形称为结果节点，其上标注有各方案在相应状态下的结果值.
图3-20
应用决策树进行决策的过程，是从右向左逐步后退进行分析的.根据右端的损益值和概率分枝的概率，计算出期望值的大小，确定方案的期望结果，然后根据不同方案的期望结果选择.方案的舍弃称为修枝，被舍弃的方案用“≠”的记号来表示，最后的决策点留下一条树枝，即为最优方案.
【例 2】某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3.现有两种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利600万元，滞销则亏损200万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可盈利400万元，滞销则盈利100万元.试问哪一种方案较好？
解 （1）按决策过程将决策的基本要素画成决策树，如图3-21所示.
图3-21
（2）计算各节点的期望损益值.
节点 ①：600×0.7+（-200）×0.3=360；
节点 ②：400×0.7+100×0.3=310.
（3）进行决策.通过节点值的比较，得到360＞310，即节点①的值大于节点②的值，所以应该将节点②剪掉，采用扩建厂房的方案.
【例3】某企业为提高其产品在市场上的竞争力，现拟定3种改革方案：（1）公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年；（2）购买先进技术，这样前期投入相对较大，使用期是10年；（3）前4年先组织技术人员逐渐改进，4年后再决定是否需要购买先进技术，4年后买入技术比第一年便宜一些，收益与前4年一样.预计该种产品前4年畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3.如果前4年畅销，则后6年畅销的概率为0.9；若前4年滞销，则后6年滞销的概率为0.1.相关的收益数据如表3-6所示.
（1）画出决策树；
（2）计算各点的期望值，并作出最优决策.
表3-6 单位：万元
解 （1）画出决策树如图3-22所示.R为总决策，1R为二级决策.
节点①表示第一种方案：公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年的收益期望值节点；节点②表示第二种方案：购买先进技术，使用期是10年的收益期望值节点；节点③表示第三种方案：前4年先组织技术人员逐渐改进，4年后购买先进技术的收益值节点.节点④、⑤、⑥、⑦分别是在三种方案下的分枝节点.
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图3-22
（2）各节点的期望值计算从最右边开始.
节点④：（80×0.9+20×0.1）×6=444
节点①：（80×4+444）×0.7+20×0.3×10-200=394.8
节点⑤：（200×0.9-30×0.1）×6=1062
节点②：（200×4+1062）×0.7-30×0.3×10-500=713.4
节点⑥：（200×0.9-30×0.1）×6-200=862
节点⑦：（80×0.9+20×0.1）×6=444
因为 444＜862，所以将⑦这一分枝剪掉.
节点③：（80×4+862）×0.7+20×0.3×10-100=787.4
将决策点①、②、③的期望收益值进行比较，决策点③的期望收益值最大，所以应选择方案（3），即采取先组织技术人员逐渐改进，再引进技术的决策.
决策树是用二叉树形图来表示处理逻辑的一种工具.决策树数学模型的优点如下：
（1）它构成了一个简单决策过程，可以使决策人有顺序、有步骤地进行决策；
（2）它比较直观，可以使决策人以科学的推理步骤去周密地思考有关因素；
（3）便于集体决策，对要决策的问题画一个决策树出来，便于集体讨论；
（4）对于较复杂的决策问题，用决策树方法比较有效，特别是对多级决策问题来说尤其方便简捷.
习 题 3.8
某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种：一是建立新型的生产线，投入的成本最大，但产出最高；二是改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少一些；三是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少.根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率分别为0.3、0.5、0.2.根据产量和销量的不同，企业面临的盈利情况如表3-7所示.试进行决策.
表3-7
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