马尔科夫链稳定收敛及其应用

方程12.66至12.68展示了模型的基本过程，这些方程可推广适用到任意迭代或过程的第t次循环

方程12.69是递推结构的一阶方程，通过对该方程的递推，很容易展示对于任意t+1时的迭代，对问题的权力都能看作是初始权力向量r（1）的函数。那么

相似地，模型的每个方程都能表达成对问题的权力的初始（外生）分布的函数，这些方程如下所示：

当然，问题是：这个过程能否收敛于一个不被重复运算而改变的均衡呢？某种意义上来说，我们从上述介绍过的模型中可以预期到这样的结果，且答案将取决于通过行动者的利益和控制形成的那两个互动矩阵的结构。

首先，让我们审视下矩阵P*和P'。 P*是通过将矩阵X和矩阵C相乘所得。现在，X和C都是随机的，即都是每一行元素的和为1。矩阵代数的基本定理告诉我们两个随机矩阵相乘会得出另一个随机矩阵。因此很容易证明

在此知识基础下，考虑下方程12.65给出的递推关系。可以完整地写成

其中是通过和P矩阵进行矩阵乘法得出的第tth个权力。审视下方程12.73就会清楚看到这种递推形式定义了一种有穷的马尔科夫链。正如我们之前好几次观察到的那样，马尔科夫链定理的一个著名的结论就是像P这样一个相关的随机矩阵的权力将会收敛于一个稳态的矩阵，该矩阵内每一行都是一样的。上一章中，我们展开了凯梅尼和斯内尔（Kemeny and Snell，1960）提出的证明。那么更正式地来说，在极限范围内，

因此方程12.73给出的过程收敛于(www.xing528.com)

第11章中介绍的凯梅尼-斯内尔收敛定理展示了的每一行都是一样的，即，∀i。那么

设定α=∑iri（1），那么对问题的权力的均衡分布rj则是和πj成比例的，即rj=απj。注意，如果ri（1）回到正态和为1，那么α=1且rj是随机矩阵P的稳态或定点向量。

用矩阵的术语来说的话，这个过程的收敛可写作如下，

其中Π是P的IxI极限矩阵。这个过程的均衡关系可通过审视方程12.71的极限得出。用方程12.77代入，得

方程12.78能说明很多，因为它展示了均衡的共时性。各种实体之间的原始关系在均衡中得到了保留，且这个方程也展示了需要的情况下可同时计算出不同的均衡分布。例如，方程12.78中r的稳态方程可写作

这里可以同时联立解出。我们在上一章中注意到如果把I-1方程从方程12.79中拿出，那么第Ith个方程可作为权力的范式，该范式先加总，然后可通过任何常规方法（例如，采用Gauss-Jordan算法或Cramer算法）解出扩展后的非齐次方程的向量r。然后可以马上算出所有其他的均衡分布。注意，对政策的权力均衡分布和对问题的权力均衡分布是通过以下方式相关联的：r*=rP*且r'=rP'，而这些方程也揭露了可通过解出方程12.79的补充关系式r*=rP*P'来达到均衡。