基于半马尔科夫过程的备件保障模型分析

库存备件模型需要考虑的因素包括备件种类和备件数量。此处只考虑发生一种故障的情况，因此可确定备件只有柱塞这一种。备件数量与备件需求率有关，备件需求率又与故障率有关。某些故障的发生并不意味着备件需求的产生，这种情况下备件的需求率不等于故障率，而根据假设，故障发生的概率就等于备件需求率。另根据假设，不存在保障站点间的备件需求，且由于PHM系统的特性，使得维修保障省略了预防性维修和周期性维修。所以，备件柱塞的需求率即为球头松动故障发生的概率。

以往最长使用的备件保障概率模型描述了寿命分布为指数分布的产品是指在规定的保障周期T内，部件出现故障有备件更换的概率。它由式（8-39）表达^[20，21]：

式中，P为备件保障概率；S为备件库存量；d为备件需求率；T为一个保障周期的时间。

这种备件保障概率模型是备件在整个补充供应周期内的保障概率。事实上，这个模型的原理可作如下的解释：周期开始时仓库中有S个备件，有备件需求产生时从仓库中调配备件代替。在假设调配时间不计时，可以将整个备件保障系统看成是一个有S套相同冷贮备系统的余度系统。假设设备的需求率即系统每套贮备系统的寿命服从指数分布时，整个系统的可靠度为^[22]

式中，R为可靠度；S为冷贮备系统数；λ为贮备系统故障率。

所以，式（8-39）表示的保障概率模型有如下一些问题：它表示的是在整个保障周期末时系统的保障概率，此概率是整个保障周期内最低的保障概率，用来描述系统的保障概率不妥；另外，模型无法表述在整个保障周期内库存备件数量的变化情况；最后，如果模型描述的只是整个备件使用的周期，并没有描述备件的订货补充过程，没有考虑订货周期对备件保障系统的影响。

参考文献[23]中，作者使用下式描述了备件在一个保障周期内的平均保障概率：

该模型在描述保障概率上比传统模型有一定程度上的改进，但是对于上述提到的传统模型的几点问题依然无法很好的解决。

（1）备件保障系统的马尔科夫模型 模型假设：

假设10：只考虑一种备件需求。

假设11：备件需求时间间隔服从指数分布，需求率为d。

假设12：备件储存策略采用连续盘点策略下的（s，Q）存贮策略，即：一旦库存水平小于d，立即发出一个订单，其订货量为常数d；若库存水平大于等于s，则不订货。

假设13：订单到货时间为T，定值。

模型分析：

利用马尔科夫过程可以方便的描述备件库存变化的情况。备件的库存策略采用（s，Q）策略。在这种情况下，其马尔科夫状态转移图如图8-21所示。图中，各状态的名称表示库存剩余备件的数量；d表示某时刻由于故障产生备件需求的概率；α表示当库存备件数小于s时，数量为Q的订单到货的概率。

在（s-s-1）状态之前，备件需求都可以被满足，在此状态之后的备件需求不能被立即满足，因此备件不能被及时满足的概率可用式（8-42）表示：

图8-21 备件库存量的马尔科夫状态转移图

延期交货量为

对模型中遇到的一些公式的说明如下：

1）在概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积，即

假设F（t），G（t）为概率分布函数；f（t），g（t）为其概率密度函数，则有

由上面两式不难推出：

2）如果定义卷积为F（t）·A（t）=∫^t₀A（t-）dF（），则此卷积的拉普拉斯变换：

式中，；A（s）=∫^∞₀e^-stA（t）dt。

推导如下：

令t-=u，则有∫^∞A（t-）e^-stdt=∫^∞₀A（u）e^-s（u+）du=e^-sA（s），所以有

（2）备件保障系统的半马尔科夫模型 上述模型求解起来比较困难，难点主要体现在不能确定每个状态下订单到货的概率是多少，只是有一点可以确定就是订单到货的时间T，即当库存备件数量小于s经过的时间为T时，订单数量为Q的备件进入库存。

1）模型化简。库存模型的马尔科夫状态转移图如图8-22所示，为方便求解，把此状态图作改进，订货周期内库存量变化如图8-23所示。改进后的图将所有库存小于s的状态集合成一个状态，此时备件正在供应且有库存，订单已发出。只要在此状态停留时间超过订货周期T，则此状态就会发生转移，一般要求其转移到库存量大于等于s的状态，否则库存策略明显不合理。图中F₀（t），F₁（t），…，F_Q-1（t）表示在小于s状态停留时间为t时的转移概率。小于s状态中库存的变化是一个马尔科夫过程，其中包含的系统状态转移情况如图8-23所示，其中状态中的名称表示消耗的库存量。

图8-22 库存模型的马尔科夫状态转移图

图8-23 订货周期内库存量变化

此系统状态转移概率矩阵为

状态转移速率矩阵为

可得状态方程为

方程展开后得

初始条件为

[P₀（0），P₁（0），…，P_s-1（0）]=[1，0，…，0] （8-54）

通过拉氏变换和反拉氏变换可得(www.xing528.com)

式中，P₀（t），P₁（t），…对应系统状态转移图中的F₀（t），F₁（t），…，如果订货时间为T则转移概率为F₀（T），F₁（T），…，F_Q-1（T）。

2）半马尔科夫过程。解此模型需用到半马尔科夫过程的概念。假定过程{X（t），t≥0}是一个有限状态、连续时间、齐次的过程，在时刻θ_n，n=0，1，…其状态发生改变，且在间隔（θ_n，θ_n+1）有值Y_n使得

且令

在此随机过程中，逗留时间可以是任意的分布，而且它们的概率分布函数可以依赖于当前状态和下一个状态。这类随机过程叫做半马尔科夫过程（Semi-Markov Processes，SMP）。

假定下一状态将转移到j，则在当前状态i花费时间的概率分布函数可由式（8-58）给出：

3）模型求解。由于备件的需求服从指数分布，即两次备件需求间隔小于t的概率为

P{X≤t}=F（t）=1-e^-dt （8-59）

系统在小于s状态停留超过订货周期T后发生转移，转移概率如上一节所讨论。

如果用X（t）表示时刻t所处的状态，T_n表示系统的第n次发生状态转移的时刻，T₀=0，令Z_n=X（T_n+0），表示系统在第n次状态转移时刻所进入的状态，那么根据半马尔科夫过程的定义可知，{X（t），t≥0}是一个半马尔科夫过程，有

Q_ij（t）=P{Z_n+1=j，T_n+1-T_n≤t|Z_n=i}，i，j，n∈E （8-60）

可得

令状态概率P_ij（t）=P{时刻t系统处于状态i|时刻0系统进入状态j} i，j∈E，则对于状态1有

通过拉氏变换可解得P₁₀（t）为初始状态为状态0时t时刻为状态1的概率。使用同样的方法可分别求得其他状态在初始状态为状态0时t时刻在各个状态的概率。

（3）备件保障概率的计算

1）备件保障概率。备件保障模型的建立是为了得到保障系统的可信性参数，备件保障概率反映了送修产品能及时得到备件保障的概率，是保障系统的重要的可靠性参数。前面章节已建立了比较详细库存量变化的模型，且根据此模型可以方便地计算保障系统的备件保障概率。

前述库存量的马尔科夫模型中，其状态Q+1是库存量处于订货时的状态，只有在订货到达时状态才有可能向其他状态转移。在订货的时间内，最开始出现的备件需求是可以满足的，但是随着订货时间的推移，可能有更多的备件需求产生，而此时如订货未到则很有可能出现备件需求得不到满足的情况。模型虽能反映库存量变化的情况，但是不能反映这种备件需求得不到满足的情况所出现的概率，这就需要对上述模型做一些加工。

因为只有在备件需求发生时系统处于Q+1状态，并且在这之前已经发生了s-1或者大于s-1个备件需求时才会发生备件需求得不到满足的情况。所以备件得不到保障的概率可由式（8-63）表示：

P{t时刻备件需求得不到满足}=

P{t时刻发生过多于s-1个备件需求|t′时刻系统处于状态Q+1，t-t′＜T₀} （8-63）

已知：

P{时间段T中发生s-1个备件需求}以及P{t时刻系统处于状态Q+1} （8-64）

故有

P{时刻系统处于状态Q+1}×P{（t-）时间内发生多于（s-1）个备件需求}d （8-65）

根据前面的结果可知：

P{t时间内发生多于（s-1）个备件需求}=1-[F₀（T）+F₁（T）+…+F_s-1（T）]=P_d（t） （8-66）

P{t时刻系统处于状态Q+1}=P（Q+1）0（t） （8-67）

得

所以备件保障概率为

2）保障概率的验证。为了验证模型的准确性，用参考文献[23]给出的数据与传统的保障周期末的保障概率和该文中改进过的整个保障周期的平均保障概率作对比，结果如下：

设某部件需求率服从参数d为0.005/h的指数分布，备件库存量为5，备件补充供应周期中部件累计工作时间为1000h，则，保障周期末的保障概率为

保障周期内的平均保障概率为

传统的保障概率得到的保障周期末的保障概率，从结果上看它是明显低于周期内平均保障概率，而平均保障概率能较好地反映保障周期内的备件保障情况。由于上面两种方法都没有考虑到备件订货的因素，所以可以设本章中的备件保障模型的订货周期为T₀=1000h，这样模型描述的系统比较贴近于文献中的系统。用本章讨论的计算方法，保障系统在时刻t=1000h时的备件保障概率为

可见，计算结果比较符合预期。由于订货周期的存在，保障结果是处于最低保障概率和平均保障概率之间且由于备件需求率低及时间短，备件保障概率更接近于周期内平均保障概率。当计算时间变得更长时，周期内平均保障概率将会持续下跌，而本章模型中的备件保障概率将逐渐趋于一个稳定的值。后续计算结果见表8-4。

表8-4 模型对比后续计算结果

（4）飞机泵源系统备件情况分析 结合实际情况，飞机液压泵源系统的常见故障类型有以下几种^[13]：

1）配流盘磨损是指配流盘与转子端面在高压高速的工作环境下，产生在接触面之间的黏着磨损或磨粒磨损及汽蚀等，配流盘磨损的直接后果是使泵的容积效率下降、回油流量增加而出口流量减小，这种故障是造成飞机液压柱塞泵失效的主要形式。维修方式为更换配流盘，配流盘为备件。

2）柱塞球头游隙增大是指柱塞球头与滑靴球窝之间的间隙超出正常的范围。这种故障会引起泵的附加振动，是飞机液压柱塞泵一种常见的典型渐进性故障。维修方式为更换柱塞，柱塞为备件。

3）斜盘不对中。泵在装配过程中，由于装配误差或者长期工作磨损后，斜盘两侧耳轴与泵壳体之间的间隙变大，使得斜盘在转子和柱塞组件的带动下来回窜动。由于此故障可由装配误差或者长期工作磨损造成，因此维修策略为重新装配或者更换斜盘。

4）液压泵轴承故障包括轴承内外环及滚动体的表面损伤。维修方式为更换轴承，轴承为备件。

5）泵源入口压力不足。液压柱塞泵稳定工作需要吸入的油液有一定的压力，当出现油箱增压不足或者管路不畅等情况时，会使泵源系统的入口压力不足，造成泵的主要外部特性如出口压力、流量等发生变化，影响泵源系统的正常工作。维修方式为增压，检修管道，无备件需求。

由于飞机液压系统有多个部件，存在多种故障形式并且不同的故障的频率不一样，这些导致了地面维护系统的备件策略不同，所以每种备件分别有一个模型。本章只假设了一种备件保障的情况。