排队服务系统的概率模型分析与数量指标描述

对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服务系统总要经历如下过程：顾客到达、排队等待、接受服务和离去，其过程如图8-1 所示：

图8-1

1.输入过程

输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统的。输入即顾客的到达，有下列几种情况：

（1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。

（2）顾客可能是成批到达，也可能是单个到达。

（3）顾客到达间隔时间可能是随机的，也可能是确定的。

（4）顾客到达可能是相互独立的，也可能是关联的。所谓独立是指以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。

（5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说是对时间齐次的（homogeneous in time），也可以是非平稳的。输入过程平稳是指顾客相继到达的间隔时间分布及参数（均值、方差）与时间无关；输入过程非平稳是指顾客相继到达的间隔时间分布及参数（均值、方差）与时间相关，非平稳的处理比较困难。

2.排队规则

排队规则是指服务允许、不允许排队，顾客是否愿意排队。

（1）损失制，指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，他们会自动离开系统永不再来。典型例子是，拨打电话时拨号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拨号，这种服务规则为损失制。

（2）等待制，指当顾客来到系统后，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票、故障设备等待维修，等等。

等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：

① 先到先服务（FCFS）。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。

② 后到先服务（LCFS）。仓库中叠放的钢材，后叠放上去的先被领走，就属于这种情况。

③ 随机服务（RAND）。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务。如电话交换台接通呼叫电话就是一例。

④ 优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理，计算机立即中断其他数据的处理，等等，均属于此种服务规则。

（3）混合制，这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：

① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过规定数量时，后来顾客就会自动离去，另求服务。如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。

② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客会自动离去，不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间就被认为自动失效；又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。

③ 逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限。例如，用高射炮射击敌机，设敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t，若在这个时间内敌机未被击落，它就不可能再被击落了。

3.服务机构

（1）服务台的数目：在多个服务台的情形下，是串联或是并联。

（2）顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布；每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服务或是单个服务，等等。常见的顾客所需的服务时间分布有：定长分布、负指数分布、超指数分布、k 阶Erlang 分布、几何分布、一般分布等。(www.xing528.com)

（3）排队论模型的记号是20 世纪50 年代初由D.G.Kendall（肯达尔）引入的，通常由3～5 个英文字母组成，其形式为

其中X 表示顾客相继到达间隔时间分布，Y 表示服务时间分布，Z 表示服务台数目，A 表示排队系统的最大容量，B 表示顾客源数量，C 表示排队规则。

X，Y的表示形式有：

M 为负指数分布Markov；

D 为确定型分布Deterministic；

Ek 为k 阶爱尔朗分布Erlang；

GI 为一般相互独立随机分布（general independent）；

G 为一般随机分布。

4.排队问题求解（主要指性态问题）

求解一般排队系统问题的主要目的是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统的合理改进和对新建系统的最优设计等。

排队问题求解的一般步骤：

（1）确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布（可实测）。

（2）研究分析排队系统理论分布的概率特征。

（3）研究系统状态的概率。系统状态是指系统中的顾客数；状态概率用 Pn（t）表示，即在t 时刻系统中有n 个顾客的概率，也称瞬态概率。

求解状态概率 Pn（t）的方法是建立含 Pn（t）的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统的瞬态解。由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用，因此，常常使用它的极限（如果存在的话）：

称之为稳态（steady state）解，或称为统计平衡状态（statistical equilibrium state）的解。

稳态的物理意义如图8-2 所示，系统的稳态一般很快能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。要注意的是求稳态概率Pn并不一定求t→∞的极限，只需求

图8-2

5.描述排队系统的主要数量指标

描述排队系统的主要数量指标是系统的忙期与闲期。

从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构的工作强度，是衡量服务机构利用效率的指标，即

与忙期相对的是系统的闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。