封闭条件下的社会最优方案优化为：社会最优方案在封闭环境中的应用

假设存在一个社会计划者（social planner），其目标是在给定资源约束和企业生产技术的条件下，实现社会总福利最大化。可以看出，这与市场均衡情形下是有很大不同的。在市场均衡下，消费者虽然也能获得效用最大化，但是却是在生产者利润最大化的基础上来实现的。具体来说，消费者在总支出和可供选择的各种产品价格的约束下，根据自身的效用函数，获得需求曲线，企业根据消费者的需求曲线，计算得到边际收益曲线，企业自身的技术决定了企业的边际成本曲线，边际收益曲线和边际成本曲线的交点就确定了市场均衡下的企业产出和定价。因此，市场均衡的实现过程需要消费者和生产者的相互制约。但是，当社会计划者存在时，价格机制是不发挥作用。所以，在计算社会最优情形下的效用最大化时，并没有计算价格。

与市场均衡情形一样，每一家试图进入市场的企业都需要支付fe单位劳动力，作为进入成本。但是，试图进入的企业数量、每家企业的产出，以及临界边际成本，都是社会计划者以总福利最大化为目标，进行资源最优配置的结果，所以与市场均衡下求得的结果不再相同。假设试图进入市场的企业的最优数量为NE，代表性消费者对边际成本为c的企业的最优消费量为qo（c），即边际成本为c的企业的最优产出为Lqo（c），最优临界边际成本为co。

在资源约束下，社会计划者将社会总资源配置到企业的进入过程和生产过程。其中，配置给试图进入的每家企业相同数量的劳动力，均为fe单位，作为进入成本，而配置给成功进入的企业用于生产的资源数量却不同，因为生产率更高的企业产出更高，相应地，对资源的需求量也越大。社会计划者因此配置更多资源给高生产率企业。基于上面的分析，社会计划者通过解决如下效用最大化问题，以实现资源的最优配置。

下面构造拉格朗日函数：

这里，指的是全社会所有消费者的最优总福利，而非单个消费者的福利。此外，需要注意的是，社会最优下的拉格朗日乘子λa和市场均衡条件下的拉格朗日乘子δa含义不同。λa指的是资源的边际效用（marginal utility of resources），也就是，多投入一单位资源带来的效用增加。

效用最大化的一阶条件为：

通过方程（4.11）可得：(www.xing528.com)

把qo（co）＝0代入方程（4.13），可以得到社会最优下的拉格朗日乘子λa的表达式：

联立方程（4.13）和（4.14）得，代表性消费者对边际成本为c的企业的最优消费量为：

把方程（4.14）和（4.15）代入方程（4.12）得：

无论企业生产率服从什么分布，上面的等式恒成立。也就是，该等式具有一般性。为了求出最优临界边际成本的表达式，下面考虑企业生产率服从帕累托分布这一特殊情形。将代入上式得：

所以，最优临界边际成本为：