随机演化博弈的分析方法

在现实生活中，没有任何一个系统的环境都是一成不变的，即在实际的博弈中，由于环境的不断变化，双方的博弈收益都是不断变化的，当内部因素产生变化时，如企业主体对环境资源的认知或者消费者对使用普通产品带来环境污染的认知等的变化，双方的收益矩阵变量将发生变化；当外部因素发生变化时，如突发公共卫生事件的外部环境发生变化，也同样会导致双方收益变量的变化。因此根据确定性收益的演化博弈并不能得出确定的稳定均衡结果，反映真实的决策变化。为克服原有演化博弈的缺陷，本文参考了随机演化博弈的理论[158]，在网络媒体和政府的决策选择中引入高斯白噪声，作为随机的干扰。

对于企业的复制动态方程：

对于消费者的复制动态方程：

由于1-x＞0、1-y＞0，即其不会改变原有的演化趋势，因此方程可改为动力系统方程：

引入高斯白噪声：

其中，σ表示随机扰动强度，dω（t）表示高斯白噪声，服从正态分布N（0，δt）。

引理1[159][160]：给定一个随机微分方程，即

假设存在一个光滑函数V（t，x）与正常数c1与c2，使得

1）若存在正常数γ，使得LV（t，x）≤-γV（t，x），则方程的零解p阶矩阵指数稳定，且成立

（2）若存在正常数γ，使得LV（t，x）≥γV（t，x），则方程的零解p阶矩阵指数不稳定，且成立

利用引理1，针对（4-13）式，取V（t，x（t））=x（t），x（t）∈[0，1]，c1=c2=1，p=1，γ=1，则LV（t，x（t））=f（t，x（t ））。

当

1）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)=0，

λ1Q（P1-C1+M）-F≤Q（P2-C2）-θL-1，或

2）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)＞0，

λ1Q(P1-C1+M)-F＜min{Q(P2-C2)-θL-1，

Q（P2-C2）-θL--1}，或

3）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)＜0，

λ1Q（P1-C1+M）-F＜Q（P2-C2）-θL-1时，方程零解矩阵指数稳定。

当

1）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)=0，

λ1Q（P1-C1+M）-F≥Q（P2-C2）-θL+1，或

2）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)＞0，

λ1Q（P1-C1+M）-F≥Q（P2-C2）-θL+1，或

3）(1-λ1)(P1-C1+M)-(λ2-1)(P2-C2)＜0，

λ1Q(P1-C1+M)-F＞max{Q(P2-C2)-θL+1，

Q（P2-C2）-θL-Q+1}时，方程零解期望矩阵指数不稳定。

证明：

取V（t，x（t））=x（t），x（t）∈[0，1]，c1=c2=1，p=1，γ=1，(www.xing528.com)

λ1Q（P1-C1+M）-F-Q（P2-C2）+θL}，因为LV（t，x（t））≤-γV（t，x（t）），故有

可得

因为x（t）∈[0，1]，故只需

故分三种情况讨论即可。

同理，针对（x-x）式取V（t，y（t））=y（t），y（t）∈[0，1]，c1=c2=1，p=1，γ=1，则LV（t，y（t））=f（t，y（t））。

当

1）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)=0，

λ2Q（V1-P2-I）≤Q（V2-P2）-1，或

2）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)＞0，

λ2Q(V1-P2-I)＜min{Q(V2-P2)-1，

Q（V2-P2）-Q[V1-P1+S-λ2（V1-P2-I）-λ1（V2-P1+S-I）+（V2-P2）]-1}，或

3）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)＜0，

λ2Q（V1-P2-I）＜Q（V2-P2）-1时，方程零解矩阵指数稳定。

当

1）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)=0，

λ2Q（V1-P2-I）≥Q（V2-P2）+1，或

2）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)＞0，

λ2Q（V1-P2-I）≥Q（V2-P2）+1，或

3）V1-P1+S-λ2(V1-P2-I)-λ1(V2-P1+S-I)+(V2-P2)＜0，

λ2Q(V1-P2-I)＞max{Q(V2-P2)+1，

Q（V2-P2）-Q[V1-P1+S-λ2（V1-P2-I）-λ1（V2-P1+S-I）+（V2-P2）]+1}时，方程零解矩阵指数不稳定。

证明：

取V（t，y（t））=x（t），y（t）∈[0，1]，c1=c2=1，p=1，γ=1，

因为LV（t，y（t））≤-γV（t，y（t）），故有

可得

因为y（t）∈[0，1]，故只需

故分三种情况讨论即可。