层次分析法的工作原理及应用分析

6.1.1.1　层次分析法的工作原理

层次分析法（Analytic Hierarchy Proces，AHP）是美国运筹学家、匹兹堡大学数学家Satty T于20世纪70年代中期提出来的一种实用多目标决策分析方法。它将定性和定量指标统一在一个模型中，既能进行定量分析，又能进行定性的功能评价。这种方法是根据问题的性质和达到的总目标，将复杂问题分解成按支配关系分组而形成有序递阶层次结构中的不同因素，由人们通过两两比较的方式确定层次结构中各因素的相对重要性，然后综合比较判断的结果以确定各个因素相对重要性的总顺序，其中最关键的问题是如何得到影响因素的权值和各候选方案在每个影响因素下的权值。

AHP方法的基本原理是：首先将复杂问题分成若干层次，以同一层次的各要素按照上一层要素为准则进行两两判断，比较其重要性，以此计算各层要素的权重，最后根据组合权重并按最大权重原则确定最优方案[田亚明，2010]。

6.1.1.2　层次分析法的判别判断一致性分析

假设有A1，A2，…，An物体n件；n件物体的重量表示为w1，w2，…，wn。

当将这些物体重量进行两两比较时，比较的比值如矩阵A所示，为n×n矩阵[高振东，2015]。

A矩阵的性质可以表示如下。重量向量W=（w1，w2，…，wn）T右乘以矩阵A时，可以得到以下关系矩阵。

也就是矩阵：

（A-nl）W=0

根据矩阵的基本知识可知，重量向量W为特征向量，其特征值为n。当向量W值为未知时，可以根据物体与物体之间的比值关系，由决策者做出比值决策和判断，或用方法Delphi来获得比值矩阵，从而得到矩阵A的真实数值，记矩阵A为判断矩阵。本文将采用灰色关联分析的方法来求取该矩阵，从而得到各个评价指标之间的两两对比的相对作用强度，借此消除评判者主观原因的干扰，得到最终的判断矩阵A[高振东，2015]。

由矩阵的基本知识，能够得到当判断矩阵A满足以下几个条件时：

条件1：aii=1；

条件2：aij=1/aji （i，j=1，2，…，n）

条件3：aij=aik/ajk （i，j=1，2，…，n）

则矩阵A含有一个最大的特征值λmax，λmax=n，n的值非零且唯一。如果得到的A矩阵满足以上特点时，则该矩阵肯定具备完全一致性。但是在实际生活中，当人们对复杂的事物（系统）进行两两比较取值时，很难做到人为判断上的完全一致性，实际判断肯定存在一定的误差，这肯定会使得特征向量及其特征值产生误差，此时由式AW=nW变成了W′=λmaxW′，其W′表示含有判断误差的相对权重值向量，即由于判断不一致而导致的偏差矩阵。为了减小误差值，实际应用中需要对矩阵A的一致性进行衡量。若矩阵A满足完全一致性，则有关系式6-1[高振东，2015]。(www.xing528.com)

且此关系式唯一地存在一个非零λ=λmax=n，当矩阵发生不一致的判断时，一般情况下λmax≥n，此时由于有式6-2[高振东，2015]。

使得式6-3成立。

用计算得到的平均值去判断矩阵A是否满足一致性，如式6-4所示。

若满足λmax=n且C.I=0，则说明满足判断的完全一致性；C.I值越小，说明判断矩阵的一致性越好，反之则越差。在实际应用中，一般当C.I≥0.1时，我们则认为符合判断一致性要求，否则需要对评价指标进行二次的比较判断，重新生成判断矩阵[Sung，2014]。

一般经验告诉我们，当事物个数（维度）n越大时，判断的一致性越是难以保证，因此在判断多指标系统时，应放松对判断矩阵完全一致性的约束条件。从而引入R.I修正表，具体见表6-1，选取合理的C.R值作为判断矩阵完全一致性的约束条件，如式6-5所示。

表6-1　判断矩阵完全一致性约束条件表

6.1.1.3　层次分析法的量化方法与应用优势分析

为了能够得到经过量化的指标与指标间比较的判断矩阵，需要构造1～9得分的标度表。心理研究的结论表明：人类区分辨别信息的能力等级极限为7±2，据此制定层次分析表的判别标准[柴继文，2017]，见表6-2。

表6-2　判断矩阵绝对值标度表（1～9）

表6-2的判断矩阵清楚明了，简单易用，这是层次分析法在实际应用中具有算法原理清晰、简单易用的优点；同时，表5-2的判断矩阵利用人类心理学的信息区分辨别能力等级差异，也使得层次分析法的判定结果具有与人类主观观感一致的优点。