空盘前乘法：珠算的简捷乘法方法

珠算乘法的运算方法很多，按照相乘顺序的不同可分为前乘法和后乘法；按被乘数和乘数置在算盘上的不同可分为置数乘法和不置数(空盘)乘法，其中置数乘法又可分为破头乘法、留头乘法和隔位乘法等；另外，在空盘前乘法的基础上针对一些特殊乘数可以运用简捷乘法，即补数乘法，“1，2，5，9”乘法和跟踪乘法等。对于珠算乘法的运算方法只有熟练掌握、灵活应用，才能提高运算速度，保证运算结果的准确。本节主要介绍空盘前乘法。

在空盘前乘法中，所谓空盘就是不在算盘上放置乘数和被乘数。前乘是指乘数的首位先同被乘数的首位相乘，然后自左向右，从高位到低位逐位相乘，把积数逐位拨加入盘。

(一)一位数乘法

乘数或被乘数中至少有一个是一位非O 数字的乘法，叫一位数乘法。

1. 公式定位法

采用公式定位法进行一位数乘法运算时，首先在算盘上确定一个定位点作为首积的十位数档，然后默记乘数，眼看被乘数，把乘数同被乘数从首位起自左而右逐位相乘，运用大九九口诀计算乘积，递位迭加(指加积时，本次乘积的十位数加在上次乘积的个位数档上，本次乘积的个位数加在右一档)到算盘上。

例3-19　529×7=3 703

(1)选一带有定位点的档作为首积的十位数档，用乘数7 乘被乘数首位5，“七五35”，首积的十位数为3。将3 拨加到+4 位档上，把首积的个位数5 拨加在右一档上，并把手指停留在本次乘积的个位档上(拨加5 的档)，如图3-19 所示。

图3-19

(2)用乘数7 乘被乘数第2 位数2，“七二14”，把积的十位数1 加在上次手指停留的档上(上次乘积的个位档)，在其右一档加上积的个位数4，手指停留在该档，如图3-20 所示。

图3-20

(3)用乘数7 乘被乘数第3 位数9，“七九63”，积的十位数为6。将6 拨加在上次手指停留的档上，在其右一档拨加积的个位数3，盘面数字为3 703，如图3-21 所示。

图3-21

由于定位点档(作为拨置首积的十位数的那个定位点档)上有数字(数字3)，此乘积用公式定位法的公式(3-1)定位，M+N=3 位+1 位，所以乘积为正四位数3 703。

例3-20　180.25×40=7 210

(1)选一带定位点的档作为首积的十位数档，用乘数4 乘被乘数首位1，“四一04”，首积的个位数为4。将4 拨加到+4 位档上，然后把手指停留在本次乘积4 的档上，如图3-22 所示。

图3-22

(2)用乘数4 乘被乘数第2 位数8，“四八32”，把积的十位数3 加在上次手指停留的档上，在其右一档加上积的个位数2，手指停留在该档上，如图3-23 所示。

图3-23

(3)用乘数4 乘被乘数第3 位数0，由于0 与任何数相乘积都为0，而0 在算盘上以空档表示，因此，把手指从上次停留的档上向右顺移一档，并把手指头停留在此档上。

(4)用乘数4 乘被乘数第4 位数2，“四二08”，积的十位数为0。把手指头右移一档，随即在该档加上积的个位数8，手指停留在该档上，如图3-24 所示。

图3-24

(5)用乘数4 乘被乘数第5 位数，“四五20”，把积的十位数2 加在上次手停留的档上，盘面数字为721，如图3-25 所示。

图3-25

由于选定的定位点所对应档上没有数字，其右一档为首位数字7，所以乘积用公式定位法的公式(3-2)定位，M+N-1=3 位+2 位-1 位=+4 位，因此乘积为7 210。

2. 固定个位法

采用固定个位法进行一位数乘法运算时，是乘前先定位，如例3-21 所示。

例3-21　63×7=441

(1)运用公式，m+n=+3，将首积定位在+3 位档上。用乘数7 乘被乘数的首数6，“七六42”，将首积十位上的4 拨入+3 位档上，将个位上的2 拨入+2 位档上，如图3-26 所示。

图3-26

(2)用乘数7 乘被乘数个位数3，“七三21”，将首积十位上的2 拨在+2 位档上，将次积1 拨在+1 位档上，得积数441，如图3-27 所示。

图3-27

例3-22　342×2=684

(1)运用公式m+n=+4，将首积定位在+4 位档上。用乘数2 乘被乘数的首数3，“二三06”，将积的首数0 拨入+4 位档上，积的个位数6 拨在+3 位档上，如图3-28所示。

图3-28

(2)用乘数2 乘被乘数的十位数4，“二四08”，将积的十位数0 拨入+3 位档上，积的个位数8 拨在+2 位档上，如图3-29 所示。

图3-29

(3)用乘数2 乘被乘数的个位数2，“二二04”，将积的十位数0 拨在+2 档位上，积的个位数4 拨在+1 位档上，得积数684，如图3-30 所示。

图3-30

例3-23　607×5=3 035

(1)运用m+n=+4，将乘积的首位定位在+4 档位上。用乘数5 乘被乘数的首位数6，“五六30”，积的首数3 拨在+4 位档上，积的个位数0 拨在+3 位档上，如图3-31所示。

图3-31

(2)用乘数5 乘被乘数第2 位数0，由于0 与任何数相乘积都为0，而0 在算盘上以空档表示，因此，把手指从上次停留的档上向右顺移一档，并把手指停留在此档上。

(3)用乘数5 乘被乘数的个位数7，“五七35”，将积的首数3 拨在+2 位档上，积的个位数5 拨在+1 位档上，得积数3 035，如图3-32 所示。

图3-32

例3-24　8 007×6=48 042

(1)运用m+n=+5，将乘积的首位定位在+5 档位上。用乘数6 乘被乘数的首位数8，“六八48”，将积的首数4 拨在+5 位档上，积的个位数8 拨在+4 位档上，如图3-33所示。

图3-33

(2)用乘数6 乘被乘数第2 位数和第3 位数0，由于0 与任何数相乘积都为0，而0 在算盘上以空档表示，因此，把手指从上次停留的档上向右顺移两档，并把手指停留在此档上。

(3)用乘数6 乘被乘数的个位数7，“六七42”，将积的首数4 拨在+2 位档上，积的个位数2拨在+1 位档上，得积数48 042，如图3-34 所示。

图3-34

(二)多位数乘法

乘数与被乘数都是两位或两位以上非0 数字的乘法为多位数乘法。多位数乘法算法是以一位数乘法为基础，根据乘法的分配律将多位数乘法拆成若干组一位数乘法。例如，32×567=(30+2)×567=30×567+2×567=18 144。

1. 公式定位法

用空盘前乘法进行多位数乘法运算时，容易因各位数积加错档次而产生运算错误。因此，根据多年实践总结及同行之间的相互交流，这里设计了一个置积档次图，按照图示位置拨置积数，有利于运算准确。置积档次如图3-35 所示。

图3-35

如图3-35 所示，采用公式定位法进行多位数乘法运算时，需根据首积的积首是否有进位来判断选择哪个定位公式。把这个档位作为首积的十位数档，称为第1 十位档，顺次向右为第2 十位档、第3 十位档……；把第1 十位档的右一档作为首积的个位数拨置档，即第1 个位档。所谓“第1、第2……”依乘数为第几位(从最高位开始)而定。运算时，第几位乘数同被乘数首位相乘，其积的十位数就拨加在第几十位档上，积的个位数就拨加在第几个位档上，菱珠算盘每3 档就有一个定位点，从一个定位点往左数，带有定位点的档顺次为第1，4，7，10 位档。按照图3-35 所示置积，可以避免因置积时串位而造成计算错误，从而加快运算速度。

运算方法及步骤如下。

(1)计算时，首先清盘，形成空盘，然后眼看被乘数，默记乘数，直接拨积入盘。

(2)乘序。先用乘数的最高位数同被乘数最高位依次从左向右逐位相乘，依次乘算加积。乘完后，再用乘数的第2 位同被乘数的各位相乘，依次乘算加积，直至乘数末位同被乘数各位乘完为止，如图3-36 所示。

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图3-36

(3)加积档次。首先将首积的十位数拨加在第1 十位档上，把首积的个位数拨加在第1 个位档上，然后按第几位乘数与被乘数的乘积的十位数拨加在第几十位档上，积的个位数拨加在其右一档上。这种连续地、依次地将被乘数与乘数乘积的十位数拨加到上次积的个位数档上，积的个位数拨加在其右一档的现象，称为递位迭加。递位迭加是对乘法运算过程中的加积的最直观的体现。为了保证运算的准确，运算时要注意“手不离盘，指不离档”。

(4)乘积定位。采用公式定位法定位时，如果第1 十位档上有算珠，用公式(3-1)定位；如果第1 十位档上没有算珠，则用公式(3-2)定位。

例3-25　548×0.46=252.08

(1)首先选一定位点档作为首积的十位档，即第1 十位档，其右一档为第1 个位档。

(2)用乘数首位数4 同被乘数首位数5 相乘，“四五20”，积为两位数，把积的十位数2 拨到第1 十位档上，积的个位数为0，则在第1 个位档以空档表示，手指停留在该档上，如图3-37 所示。

图3-37

(3)用乘数的第1 位数字4 同被乘数第2 位数相乘，“四四16”，将积的十位数1加在上次手指停留的档上，积的个位数6 在其右一档拨加，手指停留在本次积的个位档上，如图3-38 所示。

图3-38

(4)用乘数第1 位数4 同被乘数第3 位数字8 相乘，“四八32”，将积的十位数3加在上次手指停留的档上，在其右一档上拨加上积的个位数2，如图3-39 所示。

图3-39

(5)用乘数第2 位数6 同被乘数首位数5 相乘，“六五30”，将积的十位数3 拨加在第2 十位档，积的个位数为0，手指退后一位(即往右移一位为第2 个位档)，手指停留在本次积的个位档上，如图3-40 所示。

图3-40

(6)用乘数第2 位数6 同被乘数第2 位数4 相乘，“六四24”，将积的十位数2 加在上次手指停留的档上，积的个位数4 加在其右一档，手指停留在该档上，如图3-41所示。

图3-41

(7)用乘数第2 位数6 同被乘数第3 位数8 相乘，“六八48”，将积的十位数4 加在上次手指停留的档上，积的个位数8 加在其右一档，手指停留在该档上，如图3-42所示。

图3-42

乘积定位用公式定位法，由于第1 十位档上(选定的定位点档)有算珠，用公式(3-1)=M+N=3 位+0 位=+3 位，因此，乘积为252.08。

例3-26　0.259×4.5=1.17(保留两位小数)

(1)首先选一定位点档作为首积的十位档，即第1 十位档，其右一档即为第1 个位档。

(2)用乘数首位数字4 同被乘数首位数字2 相乘，“四二08”，积的十位数为0，将8 拨在第1 个位档上，手指停留在此档上，如图3-43 所示。

图3-43

(3)用乘数第1 位数字4 与被乘数第2 位数字5 相乘，“四五20”，将积的十位数2拨加在手停留的档上，积的个位数为0，手指向右移一档，停在本次积的个位档上，如图3-44 所示。

图3-44

(4)用乘数的第1 位数字4 同被乘数第3 位数字9 相乘，“四九36”，将积的十位数3拨加在手停留的档上，右移一档，拨加积的个位数6，手指停留在该档上，如图3-45 所示。

图3-45

5)用乘数的第2 位同被乘数的第1 位数字、第2 位数字、第3 位数字分别相乘。“五二10”，“五五25”，“五九45”，将数字1 拨加第2 十位档上，依次采用递位迭加将25，45 拨珠上盘，如图3-46 所示。

图3-46

本题的特点是：首积“四二08”，积为一位数，第1 十位档上没有数字，但在运算中，加积形成进位，而使第1 十位档上有算珠。这样在乘积定位时运用公式(3-1)定位。因此，对于定位公式的选用，应在得出运算结果后通过第1 十位档上是否有算珠来判断。

2. 固定个位法

例3-27　75×53=3 975

(1)m+n=+4，将首积定位在+4 位档上。用乘数的首数5 乘被乘数的首数7，“五七35”，将3 拨在+4 位档上，5 拨在+3 位档上。用5 乘被乘数个位上的5，“五五25”，将2 拨在+3 位档上，5 拨在+2 位档上，如图3-47 所示。

图3-47

(2)用乘数个位上的3 乘被乘数的首数7，“三七21”，将2 拨在+3 位档上，再乘个位上的“5”，“三五15”，将1 拨在+2 位档上，5 拨在+1 位档上，得积数3 975，如图3-48 所示。

图3-48

例3-28　38×21=798

(1)m+n=+4，将首积定位在+4 位档上。用乘数的首位数2 乘被乘数的首数3，“二三06”，将6 拨在+3 位档上；再用2 乘被乘数的个位数8，“二八16”，将1 拨在+3位档上，6 拨在+2 位档上，如图3-49 所示。

图3-49

(2)用乘数个位上的1 乘被乘数的首数3，“一三03”，将3 拨在+2 位档上；再用1乘被乘数的个位数8，“一八08”，将8 拨在+1 位档上，得积数798，如图3-50 所示。

图3-50

例3-29　246×783=192 618

(1)m+n=+6，将首积定位在+6 位档上。用乘数7 分别同被乘数246 相乘，“七二14”，分别拨在+6 位档和+5 位档上；“七四28”，分别拨在+5 位档和+4 位档上；“七六42”，分别拨在+4 位档和+3 位档上，如图3-51 所示。

图3-51

(2)用乘数十位上的8 分别同被乘数246 相乘，“八二16”，分别拨入+5 位档和+4位档上；“八四32”，分别拨在+4 位档和+3 位档上；“八六48”，分别拨在+3 位档和+2位档上，如图3-52 所示。

图3-52

(3)用乘数个位上的3 分别同被乘数246 相乘，“三二06”，将6 拨在+3 位档上；“三四12”，将1 拨在+3 位档上，2 拨在+2 位档上；“三六18”，将1 拨在+2 位档上，8拨在+1 位档上，得积数192 618，如图3-53 所示。

图3-53

例3-30　802×704=564 608

(1)m+n=6，将首积定位在+6 位档上。用乘数首数7 乘被乘数首数8，“七八56”，将5 拨在+6 位档上，6 拨在+5 位档上；再用7 乘被乘数的个位数2，“七二14”，将1 拨在+4 位档上，4 拨在+3 位档上，如图3-54 所示。

图3-54

(2)用乘数末位数4 乘被乘数首数8，“四八32”，将3 拨在+4 位档上，2 拨在+3档上。再用4 乘被乘数的末位数2，“四二08”，将8 拨在+1 位档上，得积数564 608，如图3-55 所示。

图3-55

例3-31　6.25×0.28=1.75

(1)m=1，n=0，m+n=1，将首积定位在+1 位档上。用乘数最高位数字2 分别乘625，“二六12”，将积的十位数1 拨在+1 位档上，2 拨在0 位档上；“二二04”，将4 拨在-1 位档上；“二五10”，将1 拨在-1 位档上，如图3-56 所示。

图3-56

(2)用乘数末位上的数8 分别乘625，“八六48”，将4 拨在0 位档上，8 拨在-1 位档上；“八二1 6”，将1 拨在-1 位档上，6 拨在-2 位档上；“八五40”，将4 拨在-2 位档上，得积数1.75，如图3-57 所示。

图3-57