动态投入产出模型的构建方法

由静态投入产出模型X=AX+Y 易得Y=(I －A)X ，其中(I－A)－1是存在的，于是可得X =(I－A)－1Y，据此可以对国民经济各部门进行规划。I表示单位矩阵。

GDP是经济系统在一定时间内（通常为1年）生产的最终产品的价值，即有：

GDP =eTY，这里　e=[1，1，1，…]′，因此有：

GDP　=eT (I －A)X

列昂惕夫给出的动态投入产出模型为：

列昂惕夫认为，下一年度各产业部门生产的扩大，依赖于本年度的投资，投资的消耗为Y 的一部分。Q　ΔX　(t +1)这一项表示第t年用于投资以便于扩大再生产的那些产品，Q为“投资系数矩阵”。

如果Q具有统计上的稳定性且是可逆矩阵，投资周期都为1年，各行业部门的产出能力都能够完全利用。则可以用此模型来分析国民经济各部门的发展趋势和发展过程，实现产业结构的优化。但在实际经济系统中，这些条件是无法满足的。因此，必须深入研究并且改进该模型以使其能够更好地应用于实际的经济系统中。下面我们看看如何对此模型进行改进以使其动态化。

对于静态列昂惕夫投入产出模型X　=AX　+Y ，AX表示了生产过程中的“中间产品消耗”，而Y表达了可分为投资品向量y′和消费品向量y′（不考虑进出口），即有：

X=AX +y ′+y′

投资品向量y′=表达了各部门的投资形成的对各部门产品的消耗，而消耗品向量　y　′=表达了消费形成的对各部门产品的消耗。

对部门i（1≤i≤n）把各部门投资对其产品的消耗分别记为,,…,，则有：

于是有：

记部门j的投资jI（1≤j≤n），且假设，则有：

mij表达了部门j的单位投资形成的对部门i的产品消耗，我们将此矩阵M=(mij)称为投资直接消耗系数矩阵。

把全社会的投资总量和消费总量分别记为yI和yC，且假设ni=Ii/yI，ci=，则有：

向量N =[n1,n2,…,nn]T反映了全社会投资在国民经济各部门间的分配比例，也就是投资结构，把向量N称为投资结构向量。向量C =[c1,c2,…,cn]T反映了全社会总消费在国民经济各部门间的分配比例，也就是消费结构，把向量C称为消费结构向量。

将上述结果代入静态列昂惕夫投入产出模型得：(www.xing528.com)

X =AX+MNyI+CyC

考虑到第1t+年的情况：

X (t+1)=AX (t+1)+MNyI(t+1)+CyC(t +1)

由宏观经济学的收入决定理论可知，第1t+年的投资总量I()y t)和消费总量C()y t主要取决于上一年的国民收入()NI t。设国民收入的边际消费倾向为b，边际投资倾向为h，则：

yI(t+1)=q +hNI (t )

yC(t+1)=a +bNI (t )

式中：q、a为常数。

根据列昂惕夫投入产出模型，上一年的国内生产总值GDP()t为：

GDP(t )=eT (I －A)X (t )

这里e =[1,1,…,1]′。如果不考虑折旧，则可以用上一年的国内生产总值GDP(t)代替上一年的国民收入NI (t)，因而有：

yI(t)+1)=q +hGDP(t )=q +heT(I－A)X (t )

yC(t+1)=a +bGDP(t )=a +beT(I－A)X (t )

则此时可得动态投入产出模型：

X (t+1)=AX (t+1)+MN [q +heT (I－A)X (t)]+C[a +beT (I－A)X (t)]

上述模型把第t+1年的产出向量和第t 年的产出向量联系起来，是一个动态模型，它表达了产业结构的动态变化过程。模型中没有输入变量，对模型进行的调节是通过结构参数的改变完成的，即所谓的“变结构控制”。