相关数学概念和定理解析

在金融领域内，最常用来描述资产价格变化特性的随机过程就是布朗运动，有时也称为维纳过程，它是一个具有连续参数和连续状态空间的随机过程。布朗运动最早是由英国的植物学家布朗于1827年根据花粉微粒在液体表面上作“无规则运动”的物理现象提出的。1918年，维纳对这一现象在理论上作了精确的数学描述，并进一步研究了布朗运动轨道的性质，在布朗运动空间上定义了测度与积分，使得对布朗运动及其泛函的研究得到迅速而深入的发展。布朗运动的规范数学定义如下^[3]:

(2)正态增量过程:B(t)-B(s)服从均值为0、方差为t-s的正态分布。那么当s＝0时，(B(t)-B(0))～N(0，t)；

(3)连续路径:对任意t≥0，B(t)是t的连续函数。

布朗运动具有两个重要特性，即鞅性和马尔科夫性。这也是为什么布朗运动会在资产定价中得以广泛运用的一个重要原因。关于布朗运动的鞅性和马尔科夫性的相关定理如下:

定理2.1　若{B(t)，t≥0}为布朗运动，则B(t)是一个鞅。

根据布朗运动B(t)的定义可知，B(t＋s)-B(t)独立于t期前所有的状态B(t)；且(B(t＋s)-B(t))～N(0，s)，即E(B(t＋s)-B(t))＝0

因此，有

因此B(t)是一个鞅。

定理2.2　布朗运动{B(t)，t≥0}具有马尔科夫性。

证明:根据布朗运动的定义可知，对于某个时间t有B(t)～N(0，t)。因此，根据正态分布的定义可知B(t)的矩母函数如下:

由于正态分布及其矩母函数具有一一对应的特性，因此若证明其矩母函数具有马尔科夫性，就可以说明B(t)也具有马尔科夫性。

因此B(t)具有马尔科夫性。

1951年，伊藤(Ito)根据布朗运动进一步建立了一系列连续时间的积分过程，称为伊藤(Ito)积分过程。利用伊藤(Ito)积分过程，又可以进一步界定伊藤(Ito)过程或随机微(积)分方程。现今，布朗运动和诸多形式的伊藤过程已广泛地应用于经济、金融、生物、统计等领域，这也是本书构建理论模型的数学基础。伊藤(Ito)积分过程和伊藤(Ito)过程的规范数学定义及主要相关特性如下:(www.xing528.com)

定义2.4　伊藤(Ito)积分过程:令X(t)为正则适应过程，则X(t)的伊藤(Ito)积分过程可以定义为:

可证明伊藤(Ito)积分过程也具有鞅性。

根据Fubini定理和伊藤积分过程的特性可知下式成立:

因此，伊藤(Ito)积分过程也具有鞅性。

定义2.5　伊藤(Ito)过程:如果随机过程{X(t)，0≤t≤T}可以表示为:

由伊藤过程的定义可知，布朗运动B(t)是最简单的伊藤过程，其漂移系数和扩散系数分别为0和1。

与古典微积分所处理的平滑函数式不同，布朗运动和伊藤过程的微分和积分轨迹非常不规则，也比较复杂。要深入理解布朗运动和伊藤过程的微分和积分过程，就必须熟悉一个重要的引理，即资产定价模型中常常用到的伊藤(Ito)引理。但在正式介绍伊藤引理前，还必须先给出变差函数的定义。

如果随机过程M(t)的变差函数VM(t)＜∞，则M(t)就是一个有限变差过程。

在定义了变差函数以后，就可以正式给出伊藤(Ito)引理。

定理2.4　伊藤(Ito)引理^[4]:设X(t)为满足定义2.5的Ito过程，f(x)是二阶连续可微函数，那么随机过程Y(t)＝f(X(t))的随机微分形式存在，并由下式确定:

其中，[X，X](t)表示X的二次变差函数。

式(2.17)称为Ito公式，它是我们随后章节中构造资产收益模型和违约模型时要用到的一个重要公式。