含跳跃风险且可变违约门限的违约率测度

前述分析的一个重要假设前提是，企业资产的市场价值从现期至指定时间点内，只要降低到“固定的违约门限”以下时，企业即对债务人发生违约。但“固定的违约门限”往往不能反映企业经济状况和负债结构随时间、利率政策、税收政策等变化所发生的调整。现考虑放松该假设条件，允许违约门限Dt随时间发生变化。

根据现有文献的研究成果，假定违约门限的变化方式有两种:一种是根据Zhou(2001b)的相关研究，将违约门限的变化过程设定为指数模型；另一种是借鉴Leland和Toft(1996)的研究，既考虑违约边界的内生变化，也兼顾利息、税率、无风险利率等因素对违约边界的外部影响。

1.符合指数变化的违约门限

根据Zhou(2001b)的研究，预期需偿还债务通常符合含时间t的指数模型，所以可以用这种模型来描述违约门限DT的变化。假设DT＝eϕ(T-t)Dt(Dt为t时的违约门限且Dt≤K，K为债务总面值)，其中ϕ为变化率，它决定了违约门限与时间的关系。当ϕ取负值时，考察时间区间T-t越长，事前约定的违约门限越小。当ϕ取正值时，考察时间区间T-t越长，事前约定的违约门限越大。但是ϕ的取值必须满足DT≤K，即:

因此，当违约门限DT可以随时间发生指数变化时，企业违约的概率为:

另一方面，企业权益和企业资产价值之间的非线性期权关系变为(A0仍为0时的资产价值，K仍表示企业总债务面值):

而利用定理3.2可知，企业权益价值波动率和企业资产价值波动率之间关系变为:

2.内生违约门限(www.xing528.com)

根据Leland和Toft(1996)的研究，违约门限的变化既可能是内生的，也可能受到利息、税率及无风险利率的外部影响，因此，还可以假设违约门限的变化符合以下变化方式:

其中，C表示利息，ω表示税率，r表示无风险利率，K为总债务面值。

Φ(·)为标准正态分布函数，φ(·)为标准正态概率密度函数。

在此违约边界假设下，企业发生违约的概率为:

本节在首达时模型的基础上，对企业资产价值负向跳跃所引发的违约率变化进行了测度，并重点分析了跳跃因素引入后企业资产结构变化，导出了企业权益价值和资产价值的非线性关系，使得企业资产价值和企业违约概率可通过企业权益市场的数据信息来间接度量和确定。

该模型考虑到无论何时，企业的价值只要低于违约门限，便可能发生违约的特性，既纳入了跳跃风险对企业违约概率的影响，也克服了现有模型过于复杂，难以应用于实证的缺点。同时，本节还考虑了企业负债结构会随时间发生变化的情况，进一步分析了违约门限可变时企业资产价值的跳跃变化对违约概率的影响。但本节的研究仅考虑了企业资产收益发生简单跳跃的情况，无法刻画复杂的跳跃特性，比如，本书第4章曾探讨的跳跃强度的时变性、集群性以及状态依赖性等特征。因此7.3节和7.4节将在Merton模型和首达时模型中，引入更为复杂的跳跃过程，以期更好地反映企业资产价值和收益的跳跃特征。