植入第三方参与者的互惠模型刻画

首先对Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)提出的互惠效用函数进行描述。考虑多人博弈的情形，假设参与者的集合N＝{1，2，…，N}。用Ai表示参与者i(i∈N)的策略集，Bij为参与者i关于参与者j策略的信念集，Bij＝Aj，i，j∈N；Cijk＝Bik＝Ak为参与者i关于参与者j关于参与者k策略的信念的信念集，i，j，k∈N，j≠k。于是，bij∈Bij表示参与者i关于参与者j策略的信念(一阶信念)，而ciji∈Cijk是参与者i所认为的参与者j关于参与者i策略的信念的信念(二阶信念)。

参与者i具有互惠动机，其支付可表示为：

(7.1)式中，πi(ai，bij)代表参与者i得到的物质收益。·κij(ai，bij)·λiji(bij，ciji)则表示参与者i因互惠动机而得到的心理收益：参与者i关于参与者j的互惠敏感度为Yij＞0；参与者i对参与者j的善意程度为κij(ai，bij)；参与者i感知到的参与者j对于自己的善意程度(二阶信念)为λiji(bij，ciji)。按照互惠的定义，当κij＞0时，λiji＞0，即若参与者i认为对方对自己是友善的，则自己也会善意对待对方，反之亦然。

参与者i对参与者j的善意程度κij(ai，bij)进一步可描述为：

其中：

(bij)是参与者j关于参与者i的公平支付，为给定参与者j的策略bij，参与者i的策略ai给参与者j带来的最大收益与最小收益的平均值。这样，参与者i对参与者j的善意程度κij(ai，bij)就是参与者i的策略为参与者j带来的收益与参与者i可以给参与者j带来的平均收益的差值。

参与者i对于参与者j对自己善意程度的推断λiji(bij，ciji)定义为：

(ciji)是参与者i关于参与者j的公平支付，被描述为：给定参与者i对于参与者所认为的参与者j关于参与者i策略的信念，参与者i所感知的参与者j的策略bij给参与者i带来的最大收益与最小收益的平均值，这样λiji(bij，ciji)就可理解为参与者i感知到的参与者j的策略给参与者i带来的收益与参与者j能够给参与者i带来的平均收益的差值。最后，Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)刻画了“连续互惠均衡”(SRE)的概念，并对SRE的存在性进行了证明。

现在引入公平的第三方参与者0，令参与者0的策略为θ，并假定此行为策略所有参与者的公共知识。此时，参与者集合变为N＝{0，1，2，…，N}。值得一提的是，在Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)的模型中，信念会随着博弈的进行而更新，但关于参与者0策略的信念不会随着博弈的进行而更新，参与者可以观测到参与者0的策略的实现，但他们不会更新他们关于参与者0的策略的信念，也不会更新他们关于其他参与者关于参与者0的策略的信念的信念。

给定上述假定，并且参照Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)的做法，可以得到植入第三方参与者0时，参与者i的效用函数：(https://www.xing528.com)

由于增加了第三方参与者0及其为共同知识的策略θ，故此时对参与者i效用函数中的两部分物质支付与心理支付的定义，与Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)的模型相比发生了变化。另外，参与者0的引入将导致参与者i的期望公平支付发生改变；根据Dufwenberg和Kirchsteiger(2004)的思路，参与者i关于参与者j的公平支付被刻画为参与者j能够给参与者i带来的平均收益，而在本书中，参与者0不与任何其他参与者发生利益关系，并且能为各方所接受，因此可将由参与者0开始的子博弈所导致的期望物质支付组合看成新的公平支付组合集。基于此，参与者i对参与者j的善意程度κij(ai，bij，θ)被刻画为：

此时新的公平支付只与参与者0的策略有关，而与信念bij无关，因为由参与者0开始的子博弈可以看成一个标准博弈过程，而新的公平支付则可以看作一个标准博弈的物质支付，与心理博弈过程无关，因此，新的公平支付只与参与者0的客观策略有关，与信念无关。

同样，与之类似，参与者i所感知到的参与者j的善意为λiji(bij，ciji，θ)＝π(bij，ciji，θ)-(θ)。

(2)消极互惠行为的改变。

第三方参与者0的引入在某种情况下可以消除劳动关系中的消极互惠行为，从而促使合作博弈结果的形成。为了看清这一点，通过一个简单的例子来说明。考虑博弈T1(见图7.1)。

图7.1　博弈T1

博弈T1是依据Nalebuff和Shubik(1988)构造的三人博弈的修改。首先，参与者1必须决定参与者2与参与者3中的哪一个获得支付0；然后，这个获得支付0的参与者再决定4美元在另外两个参与者中如何分配。直觉告诉我们，当参与者2与3具有足够大的互惠参数时，由于受到参与者1“不善意”对待，他们会对参与者1进行报复，此时，参与者1将获得最低的支付水平1。假定参与者2与3的报复要付出一个ξ＞0的成本。也就是说，在博弈T1中，当参与者2与3具有足够大的互惠参数时，参与者1将成为最“糟糕”的参与者，因为此时，参与者2与3的期望支付接近1.5(ξ足够小时)，而参与者1的期望支付只有1。

下面对博弈T1进行修改，引入参与者0，并构造博弈T2(见图7.2)。

在博弈T2中，参与者1通过公开性的“抛硬币”的方式来决定其余两个参与者中谁得到支付0，程序M即表示“抛硬币”，而参与者N则为引入的虚拟的第三方参与者，其行为策略为(L(0.5)，R(0.5))，即L与R出现的概率皆为0.5，而且N的策略空间为所有参与者的公共知识。更重要的是，所有参与者都接受参与者N的行为策略所导致的结果，并视这一结果为新的公平支付基准。因此，参与者1选择程序M时，其他参与者认为参与者1的善意为零，此时参与者2与参与者3没有报复参与者1的动机，所以，当参与者1选择程序M时，参与者2与参与者3的均衡选择为(l，l)，这使得参与者1的期望收入为3，并且此时，参与者所接受的公平支付基准为参与者1、2、3分别获得3、0.5、0.5的预期收益。可以发现，参与者1通过选择程序M，规避了参与者2与3的消极互惠偏好，提高了自己的期望支付水平。

图7.2　博弈T2