多种生产活动中的资源最优配置：考虑规模报酬递减和递增

在n 种生产活动中有k 种生产活动规模报酬递增，有n-k 种生产活动规模报酬递减，并且，每种生产活动都以总资源全部投入达到最大值，如图3-19 所示。这时，总收益关于各种生产活动资源投入比例的目标函数为：

s.t.λ1+λ2+…+λk+λk+1+λk+2+…+λn=1

0≤λi≤1，0≤λj≤1（i=1,2,…,k,j=k+1,k+2,…,k+n)

求R 关于λi、λj的偏导数，当一阶偏导数都相等时，式（3-47）有解。

图3-19　规模报酬递增递减函数

更一般的情况——各种生产活动不以总资源全部投入达到最大值，如3.3.2、3.3.3 节所研究影子价格为直线、曲线型等情况。生产活动达到最大收益所利用的资源少于资源总量，优化配置各种生产活动所利用的资源必须小于或等于其最大收益所利用的资源。

解式（3-48），得到各种生产活动最优利用资源的比例。(www.xing528.com)

如果总收益关于各种生产活动资源投入的函数为柯布道格拉斯生产函数：

式中，R 表示各种生产活动的总收益，λix表示第i（i=1，2，…，n）种生产活动的资源投入量。ai表示第i（i=1，2，…，n）种生产活动的资源投入对收益的弹性系数。式（3-49）可以变为

作拉格朗日函数，求其偏导数，并令其一阶偏导数为零，解得：

式（3-50）表明：分配给各种生产活动的资源，按照各种生产活动资源投入对总产出的弹性来配置，弹性大的配置资源就多；反之，配置资源就少。

如果总收益关于各种生产活动资源投入的函数为：

式（3-52）表明：不变替代弹性类型收益函数，也按照资源投入对总产出的弹性来配置资源。