【摘要】：在同一条等收益线上，成本最低点，也就是利润最大化点，这一点的利润：任一条等收益线存在一成本最低点。现在，我们来寻找任一条等收益线的成本最低点的资源组合。令，得经整理，得等式右边取正，并把式（5-3）代入，得解方程，得将x 代入式（5-3）得一旦收益水平确定后，就可以运用式和式求得等收益线上成本最低点的资源组合（x，y）。
如果式（5-25）不成立，则式（5-19）没有极大值，表明最佳生产规模不存在。生产规模由生产者决定，也就是把收益水平固定在某一水平上，寻找最佳资源组合。把收益水平固定在R（收益水平不再是x 和U 的函数），那么，U 的值也就被确定下来。在这里，我们把U 看作常量，
。在同一条等收益线上，成本最低点，也就是利润最大化点，这一点的利润：
任一条等收益线存在一成本最低点。
证明：
对成本函数
求偏导数：
比较其二阶导数：
所以，成本函数符合有极小值的二阶条件——等收益线上成本最低点存在。
现在，我们来寻找任一条等收益线的成本最低点的资源组合。
令
，得
经整理，得
等式右边取正，并把式（5-3）代入，得(https://www.xing528.com)
解方程，得
将x 代入式（5-3）得
一旦收益水平确定后（U 值也就确定了），就可以运用式（5-29）和式（5-30）求得等收益线上成本最低点的资源组合（x，y）。
将式（5-29）、式（5-30）代入成本函数
，得成本最低点的成本：
将 C（x，y）代入 π（x，y）=R-C（x，y）可得到等收益线上最大利润。
如果U 不是常量，U 是变量，当U 变化达到最佳规模时，式（5-23）存在。将式（5-23）代入式（5-30），经整理，得
将上式进一步化简：
这一结果就是式（5-24）。同理，可得到式（5-22）。由此看来，如果利润函数极大值存在，不等式（5-25）成立，也可运用式（5-29）、式（5-30）和式（5-23）计算出最佳生产规模的最佳资源组合。
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