多资源生产集成优化方案

无交互作用的多种资源生产一种产品，不改变各种资源（单独生产）投入产出函数关系，各种资源的边际收益递减，第i 种资源的收益函数为：

各种资源的价格可能有不变、递增、递减等。现讨论这种产品利润最大化的各种资源投入。

（1）多种资源价格不变的联合生产。

设：第i 种资源的价格为ci

则：生产该产品的总成本函数为

生产该产品的总利润函数为

求利润π 关于第i 种资源xi的导数，并令一阶导数为零，得

将式（8-12）代入式（8-10）得总成本：

将式（8-12）代入式（8-9）得总收益：

将式（8-14）减去式（8-13）得总利润：

如果将收益固定在R（即R 为确定的数），解以下模型：

作拉格朗日函数：

求L 关于xi的偏导数，并令一阶偏导数为零，得：

将式（8-18）变形为：

将式（8-19）代入式（8-20）得：

将式（8-21）代入式（8-19）得第i 种资源的投入量：

将式（8-22）代入式（8-10）得收益固定在R 的生产成本：

将R 减去式（8-23）得收益固定在R 的利润：

（2）多种资源价格递增的联合生产。

设资源价格递增第i 种资源成本函数为：

则资源价格递增的生产总成本为：

Xi为第i 种资源的限制量（下同）。

资源价格递增的生产总利润为：

求π 关于xi的导数，并令一阶导数为零，得

将式（8-28）代入式（8-26）得资源价格递增的生产总成本：

将式（8-28）代入式（8-9）得资源价格递增的生产总收益：

将式（8-30）减去式（8-29）得资源价格递增的生产总利润：

如果将资源价格递增的生产收益固定在R（即R 为确定的数），解以下模型：

作拉格朗日函数：

求L 关于xi的偏导数，并令一阶偏导数为零，得(www.xing528.com)

将式（8-34）变形为：

将式（8-36）代入式（8-35）得

将式（8-37）代入式（8-35）得第i 种资源的最佳投入量：

将式（8-38）代入式（8-29）得资源价格递增的固定收益的生产总成本：

将R 减去式（8-39）得资源价格递增的固定收益的生产总利润：

（3）多种资源价格递减的联合生产。

设资源价格递减的第i 种资源生产成本函数为：

则资源价格递减的生产总成本函数为：

资源价格递减的生产总利润为：

求利润π 关于xi的导数，并令一阶导数为零，得：

对式（8-44），求解xi得资源价格递减的生产利润最大化的第i 种资源的投入量：

将式（8-45）代入式（8-42）得资源价格递减的生产总成本：

将式（8-45）代入式（8-9）得资源价格递减的生产总收益：

将式（8-47）减去式（8-46）得资源价格递减的生产总利润：

如果将收益固定在R（即R 为确定的数），解以下模型：

作拉格朗日函数：

求L 关于xi的导数，并令一阶导数为零，得

对式（8-51）求解xi得

将式（8-51）等量变换为：

将式（8-52）代入式（8-53）得

将式（8-54）代入式（8-52）得收益为R 的资源价格递减的生产利润最大化的第i 种资源的投入量。

将式（8-55）代入式（8-42）得资源价格递减的收益为R 的生产总成本：

将固定收益R 减去式（8-56）得资源价格递减的生产总利润：

（4）多种资源价格递增递减的联合生产。

一种生产活动投入的多种资源中，既有资源价格递增，又有资源价格递减，各种资源的最佳投入量保持其单独投入时的最佳投入水平（因为各资源之间无交互作用）。将一种生产活动投入的多种资源分为两组——资源价格递增的为l 组，资源价格递减的为j 组，分别计算l 组和j 组的收益、成本和利润。这两组的收益之和、成本之和、利润之和分别等于该种生产活动的收益、成本和利润。

如果固定收益水平，递增、递减的资源该怎样投入？成本、利润应该怎样计算？

设固定收益水平为R、l 组的收益水平为r，则j 组的收益水平为R-r。由于收益水平固定，这两组资源投入的利润最大化就是这两组资源的成本最小化。这两组资源的成本为C=Cl+Cj（下标表示组），C 关于r 的导数。

令，得

r 是l 组（资源价格递增的）固定收益，按资源价格递增的联合生产计算其l 组的成本、利润和各种资源的最佳投入量。R-r 是j 组（资源价格递减的）固定收益，按资源价格递减的联合生产计算其j 组的成本、利润和各种资源的最佳投入量。