线性联立方程组的模型识别方法

（1）Koopmans的秩条件与阶条件定理

对于一般的线性动态系统：

显然，该系统包含G个可观测的内生变量和K个可观测的外生变量，并且包含G个不可观测的外生冲击。若令x（t）＝（y1（t-1），…，yG（t-），z1（t），…，zk（t-）），按照定义2.1.4，x（t）称为先决变量，并且，上述线性动态系统可以写作矩阵的形式

显然，该系统包含G个可观测的内生变量和K个可观测的外生变量，并且包含G个不可观测的外生冲击。若令x（t）＝（y1（t-1），…，yG（t-），z1（t），…，zk（t-）），按照定义2.1.4，x（t）称为先决变量，并且，上述线性动态系统可以写作矩阵的形式

此外，Koopmans et al.（1950）给出了对该结构模型的几点基本假设：对所有g＝1，…，G及时刻t，冲击u（t）序列无关，并且，Eug（t）＝0，Eug（t）uh（t）＝σgh，方差—协方差矩阵∑＝［σgh］和系数矩阵B非奇异。

进一步地，令A＝［BΓ］，则第g个方程的系数可以用行向量αg表示。构造Rg行的矩阵Φg，其中Rg是第g个方程系数线性约束的个数，则满足rank（Φg）＝Rg，系数的线性约束可表示为αgΦ′g＝0。Koopmans提出并证明了线性动态系统（3.2）在系数的线性约束下可识别的秩条件和阶条件定理。

命题3.1.1（Koopmans秩条件定理）线性动态系统（3.2）中第1-α个结构方程在满足约束αgΦ′g＝0的条件下，其可识别的充分必要条件是矩阵AΦ′g的秩为G-1。

命题3.1.2（Koopmans阶条件定理）线性动态系统（3.2）中第g个结构方程在满足约束αgΦ′g＝0的条件下，其可识别的必要条件是对该方程中系数线性约束的个数不少于G-1个，即矩阵Φg的行数为Rg≥G-1。

显然，Koopmans et al.（1950）推导和证明可识别定理的分析思路是结构模型可识别的充分必要条件是两个观测等价的结构之间只相差一个平凡变换（trivial transformations）。因此，第g个结构方程可识别的充分必要条件是与其观测等价的结构方程仅存在一个规模上的变换。如果想要确定第g个结构方程的结构系数的值，仍需要加入1个标准化约束。这一点也将在本章第3.2节中做出具体说明。

（2）Fisher的广义秩条件定理

Koopmans et al.（1950）在其经典文献中提到了多种约束形式，但仅对单个方程系数在线性约束下的结构识别问题进行研究，Fisher（1959）将其研究推广，除了考虑对单个方程系数的线性约束外，同时也考虑一种非线性约束——冲击不相关的约束，其约束的表达形式为Eug（t）uh（t）＝σgh＝0。

对于线性动态系统（3.1），其矩阵形式仍为式（3.2），如果满足Koopmans et al.的基本假设，并且，假设对第g个结构方程有Rg个系数的线性约束，即

此外，Koopmans et al.（1950）给出了对该结构模型的几点基本假设：对所有g＝1，…，G及时刻t，冲击u（t）序列无关，并且，Eug（t）＝0，Eug（t）uh（t）＝σgh，方差—协方差矩阵∑＝［σgh］和系数矩阵B非奇异。

进一步地，令A＝［BΓ］，则第g个方程的系数可以用行向量αg表示。构造Rg行的矩阵Φg，其中Rg是第g个方程系数线性约束的个数，则满足rank（Φg）＝Rg，系数的线性约束可表示为αgΦ′g＝0。Koopmans提出并证明了线性动态系统（3.2）在系数的线性约束下可识别的秩条件和阶条件定理。

命题3.1.1（Koopmans秩条件定理）线性动态系统（3.2）中第1-α个结构方程在满足约束αgΦ′g＝0的条件下，其可识别的充分必要条件是矩阵AΦ′g的秩为G-1。

命题3.1.2（Koopmans阶条件定理）线性动态系统（3.2）中第g个结构方程在满足约束αgΦ′g＝0的条件下，其可识别的必要条件是对该方程中系数线性约束的个数不少于G-1个，即矩阵Φg的行数为Rg≥G-1。

显然，Koopmans et al.（1950）推导和证明可识别定理的分析思路是结构模型可识别的充分必要条件是两个观测等价的结构之间只相差一个平凡变换（trivial transformations）。因此，第g个结构方程可识别的充分必要条件是与其观测等价的结构方程仅存在一个规模上的变换。如果想要确定第g个结构方程的结构系数的值，仍需要加入1个标准化约束。这一点也将在本章第3.2节中做出具体说明。

（2）Fisher的广义秩条件定理

Koopmans et al.（1950）在其经典文献中提到了多种约束形式，但仅对单个方程系数在线性约束下的结构识别问题进行研究，Fisher（1959）将其研究推广，除了考虑对单个方程系数的线性约束外，同时也考虑一种非线性约束——冲击不相关的约束，其约束的表达形式为Eug（t）uh（t）＝σgh＝0。

对于线性动态系统（3.1），其矩阵形式仍为式（3.2），如果满足Koopmans et al.的基本假设，并且，假设对第g个结构方程有Rg个系数的线性约束，即

且有M个冲击不相关的约束，即

且有M个冲击不相关的约束，即

不失一般性，可以令g＝1，并且将方程重新排列，使得

不失一般性，可以令g＝1，并且将方程重新排列，使得

注意到∑＝［σgh］是G×G矩阵，将其改写为分块矩阵

注意到∑＝［σgh］是G×G矩阵，将其改写为分块矩阵

令，Fisher同样根据Koopmans et al.的分析思路，即第g个结构方程可识别的充分条件是与其观测等价的结构方程仅存在一个规模上的变换，从而推导出了广义秩条件和阶条件定理。

令，Fisher同样根据Koopmans et al.的分析思路，即第g个结构方程可识别的充分条件是与其观测等价的结构方程仅存在一个规模上的变换，从而推导出了广义秩条件和阶条件定理。(https://www.xing528.com)

命题3.1.3（Fisher广义秩条件定理）：线性动态系统（3.2）中第1个结构方程在满足约束＝0和σ1m1+i＝0，i＝1，…，M的条件下，其可识别的充分条件是

命题3.1.3（Fisher广义秩条件定理）：线性动态系统（3.2）中第1个结构方程在满足约束＝0和σ1m1+i＝0，i＝1，…，M的条件下，其可识别的充分条件是

从而，可以得到如下广义阶条件定理。

命题3.1.4（Fisher广义阶条件定理）：如果线性动态系统（3.2）中第1个结构方程满足约束条件α1Φ′1＝0和σ1m1+i＝0，i＝1，…，M，则其可识别的必要条件是

从而，可以得到如下广义阶条件定理。

命题3.1.4（Fisher广义阶条件定理）：如果线性动态系统（3.2）中第1个结构方程满足约束条件α1Φ′1＝0和σ1m1+i＝0，i＝1，…，M，则其可识别的必要条件是

Fisher（1959）将Koopmans et al.（1950）的研究更为推进了一步，并且考虑了经济问题研究中经常遇到的冲击不相关的约束条件，得出了广义秩条件和阶条件定理，在后续的结构识别理论研究中得到了广泛应用。但是，需要指出的是，在实际问题研究中，Fisher的识别方法需要对方程组进行排序，即每检验一个方程都要经过重新排序，在方程较多的情况下导致了使用不便，并且容易出错。因此，该方法在实证研究中没有得到广泛的应用，但其对结构识别的理论研究仍然有着深远的意义。

（3）Hausman＆Taylor的识别定理

Hausman＆Taylor（1983）进一步研究线性联立方程组模型的识别问题。他们指出，当对结构模型的约束中加入“方差—协方差约束”时，情况将变得十分复杂。早在Koopmans et al.（1950）的文献中就曾经指出这种约束的重要性，并且证明了其等价于对系数的双线性约束。但是由于分析过于复杂，Koopmans et al.（1950）并没有研究在加入“方差—协方差约束”下的识别情况。Fisher考虑的是一种十分特殊的情况即冲击的不相关约束，并且他没有得出一个充分必要条件。在Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）及Rothenberg（1971）等人的研究基础上，Hausman＆Taylor（1983）认为识别线性联立方程组模型的本质是通过简化型参数确定结构参数的唯一解。

对于经典的线性联立方程组模型

Fisher（1959）将Koopmans et al.（1950）的研究更为推进了一步，并且考虑了经济问题研究中经常遇到的冲击不相关的约束条件，得出了广义秩条件和阶条件定理，在后续的结构识别理论研究中得到了广泛应用。但是，需要指出的是，在实际问题研究中，Fisher的识别方法需要对方程组进行排序，即每检验一个方程都要经过重新排序，在方程较多的情况下导致了使用不便，并且容易出错。因此，该方法在实证研究中没有得到广泛的应用，但其对结构识别的理论研究仍然有着深远的意义。

（3）Hausman＆Taylor的识别定理

Hausman＆Taylor（1983）进一步研究线性联立方程组模型的识别问题。他们指出，当对结构模型的约束中加入“方差—协方差约束”时，情况将变得十分复杂。早在Koopmans et al.（1950）的文献中就曾经指出这种约束的重要性，并且证明了其等价于对系数的双线性约束。但是由于分析过于复杂，Koopmans et al.（1950）并没有研究在加入“方差—协方差约束”下的识别情况。Fisher考虑的是一种十分特殊的情况即冲击的不相关约束，并且他没有得出一个充分必要条件。在Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）及Rothenberg（1971）等人的研究基础上，Hausman＆Taylor（1983）认为识别线性联立方程组模型的本质是通过简化型参数确定结构参数的唯一解。

对于经典的线性联立方程组模型

首先加入标准化约束βii＝1，由于假设矩阵非奇异，式（3.4）可以写为

首先加入标准化约束βii＝1，由于假设矩阵非奇异，式（3.4）可以写为

根据定义2.1.6，式（3.5）即为结构式（3.4）的简化型，其中，Π为G×K的矩阵，Π＝B-1Γ，εt～i.i.d.N（0，Ω），Ω＝B-1∑B′-1。Hausman＆Taylor（1983）仍然沿用了Koopmans et al.（1950）及Fisher（1959）逐个检验方程可识别性的思路，所不同的是，他们主要讨论第一个方程的结构参数［B1Γ1∑1］有唯一解的充分必要条件。

根据定义2.1.6，式（3.5）即为结构式（3.4）的简化型，其中，Π为G×K的矩阵，Π＝B-1Γ，εt～i.i.d.N（0，Ω），Ω＝B-1∑B′-1。Hausman＆Taylor（1983）仍然沿用了Koopmans et al.（1950）及Fisher（1959）逐个检验方程可识别性的思路，所不同的是，他们主要讨论第一个方程的结构参数［B1Γ1∑1］有唯一解的充分必要条件。

命题3.1.5（Hausman＆Taylor秩条件定理）：对于线性联立方程组模型（3.4）的第1个结构方程，在系数线性约束及方差—协方差约束′＝0下，其可识别的充分必要条件是

命题3.1.5（Hausman＆Taylor秩条件定理）：对于线性联立方程组模型（3.4）的第1个结构方程，在系数线性约束及方差—协方差约束′＝0下，其可识别的充分必要条件是

显然，矩阵的维数为（K+r+s）×（G+K），其中r，s分别为系数线性约束及方差—协方差约束的个数，若使矩阵的秩等于（G+K），则必须要求行数K+r+s大于等于列数，由此得到如下的阶条件定理。

显然，矩阵的维数为（K+r+s）×（G+K），其中r，s分别为系数线性约束及方差—协方差约束的个数，若使矩阵的秩等于（G+K），则必须要求行数K+r+s大于等于列数，由此得到如下的阶条件定理。

命题3.1.6（Hausman＆Taylor阶条件定理）：对于线性联立方程组模型（3.4）的第1个结构方程，在系数线性约束和方差—协方差约束ΨΩB′1＝ΨB-1∑′＝0下，其可识别的必要条件是对第1个结构方程施加的约束个数不少于内生变量的个数G，即r+s≥G。

显然，Hausman＆Taylor（1983）在Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）及Rothenberg（1971）等人的研究基础上，进一步放宽了识别约束的形式，并且运用参数对应关系确定结构参数唯一解的思路推导结构方程可识别的充分必要条件，其提出的秩条件定理和阶条件定理在后续的实证研究中得到了广泛应用。并且，这种分析思路也为后续的结构时间序列模型的识别研究提供了参考，例如Blanchard＆Quah（1989）以及Gali（1992）在研究SVAR模型的识别问题时，也是利用参数对应关系寻求结构参数可以得到唯一解的充分条件。

命题3.1.6（Hausman＆Taylor阶条件定理）：对于线性联立方程组模型（3.4）的第1个结构方程，在系数线性约束和方差—协方差约束ΨΩB′1＝ΨB-1∑′＝0下，其可识别的必要条件是对第1个结构方程施加的约束个数不少于内生变量的个数G，即r+s≥G。

显然，Hausman＆Taylor（1983）在Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）及Rothenberg（1971）等人的研究基础上，进一步放宽了识别约束的形式，并且运用参数对应关系确定结构参数唯一解的思路推导结构方程可识别的充分必要条件，其提出的秩条件定理和阶条件定理在后续的实证研究中得到了广泛应用。并且，这种分析思路也为后续的结构时间序列模型的识别研究提供了参考，例如Blanchard＆Quah（1989）以及Gali（1992）在研究SVAR模型的识别问题时，也是利用参数对应关系寻求结构参数可以得到唯一解的充分条件。