奇异值和特征值指标的解读

静态电压稳定分析方法主要是基于潮流方程，且大部分是基于常规潮流方程，如上节所述的灵敏度方法。常规潮流计算是在电力系统正常运行状态条件下进行的，它只考虑系统的节点平衡方程，即由系统网络结构所决定的功率分配。这对于电压稳定分析来说，因理论依据不充分和考虑的因素有限，使得计算结果与系统实际有一定差距，为此发展了多种扩展潮流算法。通常，电力系统模型可准确地表示为以下非线性微分代数方程：

式中，x表示系统动态状态变量；y表示代数变量；τ表示反映负荷水平的参数。微分方程表示系统的动态行为，代数方程表示对系统动态行为的约束，一般为潮流方程。为了分析系统在运行点（x₀，y₀，τ₀）的稳定性，可在该点将式（2-1）线性化得

式中，。称矩阵J′_LF=为扩展潮流雅可比矩阵。当J_gy非奇异时，可得到线性化动态系统状态矩阵A_sys，即

当J_fx非奇异时，可得到动态化的潮流雅可比矩阵J_dyn，即

电力系统在运行点（x₀，y₀，τ₀）稳定的充要条件是Asys的所有特征根的实部均为负。

基于常规潮流方程雅可比矩阵的动态化潮流雅可比矩阵方程为

由于上式经过了动态化潮流的修正，因此子矩阵如J′_Pθ区别于常规潮流方程雅可比矩阵的J_Pθ。

在常规静态电压稳定性分析中，通常假设发电机和负荷节点有功不变，即∆P=0，则

通常可以认为在分叉点即使雅可比矩阵奇异，J′_Pθ也不奇异。此结论并无明确的证明，但对于电力系统目前的实践却是正确的。因此，可以利用动态化潮流雅可比矩阵J_dyn的奇异性，判断线性化动态系统状态矩阵A_sys的奇异性。而奇异值和特征值则是判断矩阵奇异的有力工具。奇异值和特征值分析的意义随着所用模型有相当大的变化，对于大多数系统模型，从潮流模型获得的结果在平衡点处不具有任何重要的意义，只在临界点有重要的意义。

1.奇异值(www.xing528.com)

若对方阵A∈R^n×n进行正交分解，，其中U和V均为n×n正交矩阵，奇异向量u_i和v_i分别是矩阵U和V的列向量，Σ是以奇异值σ_i（∀i，σ_i≥0）为对角元素的对角矩阵。当矩阵A的秩为r（r≤n）时，奇异值中有r个对角元素大于0。

矩阵的奇异分解常用来确定矩阵的秩，它应用于电压崩溃分析时集中监测最小奇异值，直到崩溃点，该最小奇异值变为0。因此，雅可比矩阵的最小奇异值可以作为一个好的静态电压稳定指标，而且与最小奇异值关联的左、右奇异向量包含了重要信息，右奇异向量中的最大元素指示最灵敏的电压幅值（关键节点），而左奇异向量中的最大元素对应于功率注入的最灵敏方向（关键发电机）。此外，还可以求出各个负荷节点的等效雅可比矩阵，再求出各个矩阵的奇异值，最后经比较找到最小奇异值，也就找到了对系统电压稳定影响最大的节点。

2.特征值

动态化潮流雅可比矩阵J_dyn的每个特征值都与一个无功/电压运行模式相对应，特征值的模值就是相应运行模式的电压稳定性的相对量度。如果只关心当前运行状态下最易失稳的运行模式，就不必计算J_dyn的所有特征值，只计算最小特征值即可。

在特征值分解当中，由于J_dyn的准对称结构，可以获得一个仅仅为实特征值和特征向量的集合。与奇异值类似，与最小特征值相关的右特征向量的最大元素对应于系统内的关键节点（最灵敏电压），而左特征向量的最大元素指示功率变化最灵敏方向。另外，与奇异值法相似，也可以求出各个负荷节点的等效雅可比矩阵，再求出各个矩阵的特征值，最后经比较找到最小特征值，也就找到了对系统电压稳定影响最大的节点。

特征值和奇异值法都是基于线性化潮流方程的，而潮流雅可比矩阵是依赖于系统各个元器件的功率电压特性的。当潮流接近于临界状态时，这些非线性元器件的功率电压特性如何线性化对临界模式的识别有很大的影响。

在实践中发现，随着系统规模的增大，特征值和奇异值变得更加类似。当方程维数增加后，矩阵的最小特征值和奇异值都要变小。如系统发电机达到无功限制而由PV节点转化为PQ节点后，特征值有一个跳变，其线性程度不好。而且通常在临界点处，奇异值和特征值有非常陡的快速下降过程，特别是在有多台发电机同时达到限制的时候。而在其他时刻，特征值和奇异值的变化都比较平缓，因此它们对电压崩溃的预测性比较差。

特征值和奇异值的另一个缺点是计算量比较大。现在已发展出了一些快速算法，利用潮流计算的LU分解结果和近似算法快速计算最小奇异值。对于特征值，只计算m个最小特征值，如果其中最大的特征值相应的模式被认为是足够稳定的话，则比这m个更大的特征值均不必计算。计算后，通过从当前运行点到崩溃点特征值提供的弱节点和关键发电机的信息，可以得到此过程中逐步趋弱的真正关键区域。