对比分析不同层级网络的性质

网络的平均路径长度、聚类系数和度分布情况是揭示网络性质的三个重要指标。

（一）平均路径长度

网络的路径长度是指任意两个节点之间的最短路径上包含的边数；平均路径长度则是指网络中所有节点对之间的路径长度的平均值，如式（8-5）所示；该值越大表明网络深度越大，便利程度越差。

其中：N为节点数；lij为节点i与j间的最短路径的边数。

（二）聚类系数

若一个节点i有di条边与其他节点相连，则聚类系数Ci是指di个节点间实际存在的边数与可能存在的边数的比值，如式（8-6）所示。整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数Ci的平均值。聚类系数是反映网络中节点间聚集程度的指标。

将对“一带一路”航空网络k-核分解得到的19个网络代入Ucinet软件，分别计算出各个网络的平均路径长度和聚类系数，其值如图8-3-2所示。

图8-3-2　不同层次网络中平均路径长度和聚类系数变化图

从图8-3-2可以看出，在各层网络中聚类系数基本上呈缓慢上升的趋势，其中k1网络的聚类系数最小为0.417，k19网络的聚类系数最大达到为0.640；总体看来，各层网络的聚类系数不大，与中国航空网络以及世界航空网络的聚类系数［26］比相对偏小；反映出“一带一路”航空网络各通航机场的聚集程度相对较弱，沿线枢纽机场的地位和作用并不显著。而各层网络的平均路径长度则呈现出较明显的下降趋势，其中k1网络的平均路径长度最大为2.796，即在k1网络中两个节点间平均需经过2.796次中转才能到达；k19网络的平均路径长度最小为1.505。平均路径长度的减小，反映出随着分解程度的不断提升，各层网络的便利化程度不断提升。(www.xing528.com)

（三）度分布

度分布表示的是随机选定一个节点的度值恰好为k的概率，可用分布函数P(k)来描述。网络的度分布可以用幂律分布形式P(k)∝k-γ来描述。为研究方便，常用累积度分布函数来反映度分布情况。累积度分布函数表示的是度值不小于k的节点的概率分布。

如果度分布为幂律分布，即P(k)∝k-γ，那么累积度分布函数符合幂指数为γ-1的幂律，如式（8-7）所示。其中γ又称为度分布指数，γ值越小，网络中节点的度值差异越大，网络的无标度属性越强。在双对数坐标系下，幂律分布对应一条直线。

选择k-核分析后的7个代表性网络计算出节点度值及度分布函数，在双对数坐标系下累积度分布曲线，如图8-3-3所示。

图8-3-3　不同网络的累积度分布

在双对数坐标系下，各网络的累积度分布曲线近似对应一条直线，故上述累积度分布曲线符合幂律分布的特征；对上述分布进行曲线拟合，其α、γ取值如表8-3-1所示。

表8-3-1　累积度分布曲线拟合参数

从表8-3-1可知，随着k值的增加，其度分布指数γ呈现出不断增加的趋势，表明随着网络分解程度的不断提高，网络中节点度值的差异性在不断降低，网络的无标度属性在不断弱化。其中k1、k4中γ值小于2，表明网络中存在相当比例的具有枢纽作用的节点，枢纽节点对网络功能有较大的影响作用；k7、k10、k13、k16网络中的γ值介于2和3之间，其网络结构类似于Internet router网、Movie actors网［29］，表明网络中节点间的连接程度不高，存在一定数量的枢纽节点，但数量并不很多，枢纽节点对网络功能的影响进一步降低。k19网络中的γ值大于3，表明该网络类似于随机网络，该网络中节点度差异性不大，网络功能的实现不依赖某些特点的节点，各个节点对网络功能的影响都相对有限，网络具有较高的稳定性。