模态分析的数学建模

在电机振动研究过程中，可以用多自由度系统来简化代替开关磁阻电机振动系统进行分析。假设系统的自由度为n，系统的振动位移为位移矢量xn×1，则开关磁阻电机振动遵循的动力学平衡方程如下

式中，M是质量矩阵；C是结构阻尼矩阵；K是弹性刚度矩阵；x是位移矢量；x·是速度矢量；x··是加速度矢量；F（t）是关于时间t的力函数矢量。

电机的固有频率和振型与外载荷无关，即令F（t）＝0。此外，电机本身的结构阻尼影响很小，可以忽略不计，即令C＝0，此时得到系统的无阻尼自由振动方程为

自由模态分析是经典的特征值问题，结构的自由振动为简谐振动，即对于无阻尼自由振动方程，方程的解为正弦函数：

系统中的所有质点以同一相位θ和同一频率ω进行振动，而振幅则按比例分配，该比例由特征向量［u］n×1决定。

式（3.3）的特征值ωi（i＝1，2，3，…，n）为电机振动系统在约束条件下第i阶模态的固有频率，对应的特征向量［uƒ］i为其固有振型。(www.xing528.com)

考虑开关磁阻电机的实际安装约束：卧式开关磁阻电机一般将机座底座通过螺栓固定在工作台上。因此，在约束面上，由于约束力Ri的作用，质点满足约束方程

式中，｛xr｝表示约束质点的集合，r为约束质点的个数。令ƒ＝n－r，表示不受约束的质点数，令｛xƒ｝表示不受约束质点的集合，令｛Rr｝为约束力矢量集合。此时，式（3.2）可改写成：

将式（3.3）和式（3.4）带入，式（3.5）将变成

根据式（3.6）可得（ω2，｛uƒ｝）的求解方程为

对式（3.7）求解得ωi（i＝1，2，3，…，ƒ）为电机振动系统在约束条件下第i阶模态的特征频率，对应的特征向量｛uƒ｝i为其固有振型。