分析测量误差及数据处理技巧

任务描述与要求

任务通过了解误差的概念及产生的原因，学习误差的分类方法，了解测量精度的概念，掌握随机误差的数据处理方法。

1. 知识要求

（1） 熟悉测量误差的有关术语及产生的原因。

（2） 掌握误差的数据处理方法。

2. 技能要求

能够正确处理测量数据，检验零件的合格性。

任务引入

对某一轴的直径进行15 次等精度测量，按测量顺序各测得值依次为：

34.959 34.955 34 958 34.957　34.959 4.956 34.957 34.958

34.955 34.957 34.959 34.955 34.956 34.957 34.958

请分析误差产生的原因，正确处理数据，确定测量结果。

任务知识准备

一、测量误差及产生原因

1. 测量误差概念

测量误差是指在测量时，测量结果与真值之间的差异。测量误差可以用绝对误差和相对误差来表示。

（1） 绝对误差。绝对误差是指被测几何量的测得值（即仪表的指示值）与其真值之差，即

式中：δ——绝对误差；

x——测得值；

x0——被测量的真值。

由于测得值x 可能大于或小于真值，所以绝对误差δ 可能是正值也可能是负值。因此，真值可用下式表示：　

按照式（3 - 2），可用测得值x 和测量误差δ 来估算真值x0 所在的范围，所以测量误差的绝对值越小，说明测得值越接近真值，因此测量精度就高。反之，测量精度就低。但是对于不同的被测几何量，绝对误差就不能说明它们测量精度的高低。例如，用某测量长度的量仪测量50 mm 的长度，绝对误差为0.005 mm；用另一台量仪测量500 mm 的长度，绝对误差为0.02 mm。这时就不能用绝对误差的大小来判断测量精度的高低。因为后者的绝对误差虽然比前者大，但它相对于被测量的值却很小。为此，需要用相对误差来比较它们的测量精度。

（2） 相对误差。相对误差是指被测几何量的绝对误差（一般取绝对值）与其真值之比，即　

式中，ϵ ——相对误差。

相对误差是一个量纲为1 的数值，相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。

2. 测量误差的来源

在实际测量中，产生测量误差的因素很多，归纳起来主要有以下几个方面。

（1） 测量器具。测量器具的制造和装配误差都会引起其示值误差，其中最重要的是基准件的误差，如刻线尺的误差。

（2） 测量方法。因测量方法产生的误差，除了某些间接测量法中的原理误差以外，主要有阿贝误差和对准误差两种。

（3） 测量环境。测量环境主要包括温度、气压、湿度、振动、噪声以及空气净化程度等因素。在一般测量过程中，温度是重要的因素，其他因素只在精密测量中才考虑。

（4） 测量人员。测量人员产生的误差主要有视觉误差、估读误差、观测误差、调整误差以及对准误差等。

二、测量误差的分类

按照测量误差的性质和产生的原因，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。

1. 系统误差

系统误差是指在一定条件下多次测量的结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是具有一定的规律性。

系统误差的来源有以下几个方面：

（1） 仪器误差。仪器误差是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。

（2） 理论误差。理论误差是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求或测量方法等所带来的误差。

（3） 观测误差。观测误差是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。

例如，用“落球法”测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，这是测量方法不完善造成的误差；用停表测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t 总是偏大为一个固定的数值，这是仪器不准确造成的误差；在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，则这是由于环境因素变化引起的误差。

在任何一项实验工作和具体测量中，必须想尽一切办法，最大限度地消除或减小一切可能存在的系统误差，或者对测量结果进行修正。若发现系统误差，则需要改变实验条件和实验方法，反复进行对比。系统误差的消除或减小是比较复杂的一个问题，没有固定不变的方法，要具体问题具体分析，各个击破。产生系统误差的原因可能不止一个，一般应找出影响的主要因素，有针对性地消除或减小系统误差。

2. 随机误差

在实际测量条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫作随机误差。

当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点如下：

（1） 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大（单峰性）。

（2） 绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性）。

（3） 绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）。

（4） 误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零（抵偿性）。因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。

引起随机误差的原因也很多，如与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。仪器显示数值的估计读数位偏大和偏小；仪器调节平衡时，平衡点确定不准；测量环境扰动变化以及其他不能控制的因素，如空间电磁场的干扰、电源电压波动引起测量的变化等。

由于测量者过失，如实验方法不合理、用错仪器、操作不当、读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。

实验中精密度高是指随机误差小，而数据很集中；准确度高是指系统误差小，测量的平均值偏离真值小；精确度高是指测量的精密度和准确度高；数据集中而且偏离真值小，即随机误差和系统误差都小。

3. 粗大误差

超出规定条件下预计的误差。粗大误差是由某种非正常原因造成的，如读数错误、温度的突然变动等，应根据误差理论按一定的规则予以剔除。

三、测量精度

测量精度是指被测几何量的测得值与其真值的接近程度。测量误差越小，测量精度就越高；测量误差越大，则测量精度就越低。(https://www.xing528.com)

根据在测量过程中系统误差和随机误差对测量结果的不同影响，测量精度一般分为以下三种。

1. 正确度

正确度是指在规定的测量条件下，测量结果与真值的接近程度。系统误差影响的程度：系统误差小，则正确度高。

2. 精密度

测量精密度表示在同样测量条件下，对同一物理量进行多次测量，所得结果彼此间互相接近的程度，即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度，因而测量精密度是测量偶然误差的反映。测量精密度高，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。

3. 精确度

测量精确度表示多次测量所得的测得值与真值接近的程度，测量精确度是对测量的系统误差及随机误差的综合评定。若精确度高，则测量数据较集中在真值附近，测量的随机误差及系统误差都比较小。

在具体测量中，精密度高，正确度不一定高；正确度髙，精密度不一定也高。精密度和正确度都高，则精确度就高。

以打靶为例来比较说明精密度、正确度、精确度三者之间的关系。图3 - 20 中靶心为射击目标，相当于真值，每次测量相当于一次射击。

图3-20　正确度、精密度和精确度关系示意图　

（a）精密度高、正确度不高；（b）正确度高、精密度不高；（c）正确度不高、精密度不高；（d）精密度和正确度都高

四、随机误差的数据处理

随机误差的大小和方向是变化的，不能用修正值予以消除，但可用实验统计的方法对大量测得值做统计处理，便能较准确地估计和评定测量结果。随机误差的一般处理方法如下。

1. 求算术平均值

在同一条件下，对同一被测量进行多次（n 次）等精度测量，将得到一系列不同的测得值x1，x2，x3，…，xn，则其算术平均值为

从符合正态分布规律的随机误差的分布特性可以得出残差有两个基本性质。

3. 求单次测得值的标准偏差

测得值的算术平均值虽能表示测量结果，但不能表示各测得值的精密度。为此，需要引入标准偏差的概念。

标准偏差是表征对同一被测量进行n 次测量所得值的分散程度的参数。

根据误差理论，随机误差的标准偏差σ 是各随机误差平方和的平均值的平方根，即

虽然根据式（3 - 6）可以求出标准偏差σ 值，但由于被测量的真值是未知量，因此随机误差也不可知。实际测量时常用残差vi 代替，根据贝塞尔公式求出标准偏差σ 估算值，即

单次测得值测量结果的表达式可以写为　

4. 判断是否具有粗大误差

5. 求算术平均值的标准偏差

根据误差理论，测量列算术平均值的标准偏差与测量列中单次测得值的标准偏差σ 之间的关系如下：　

测量列算术平均值的测量极限误差为　

多次测量所得结果的表达式为　任务实施

根据任务求解如下：

误差产生的原因有：计量器具的误差；测量方法误差；环境条件所引起的测量误差；人员误差。

数据处理：

（1） 求算术平均值：

（2） 计算残差和判定变值系统误差。各残差的数值经过计算后列于表3 - 6 中，按照残差观察法，这些残差的符号大体上正、负相同，没有周期性的变化，因此可以认为测量列中不存在变值系统误差。

表3-6　测量数据计算结果

（3） 计算测量列中单次测得值的标准偏差：

（4） 判断粗大误差：

（5） 计算算术平均值的标准偏差：

（6） 计算算术平均值的测量极限误差：

轴的直径的测量结果：