坐标变换阵的推导与应用

为了便于坐标变换，假设电动机的磁动势为正弦波分布。实际上，PMSM中都是配置正弦波分布的绕组，所以这种假设是成立的。因此，可以定义电动机的电压、电流和磁链等变量进行坐标变换，根据采用的不同坐标系，得到相应的坐标变换阵。为了使坐标变换阵简单易记，一般情况下，对于相同的坐标系间的变换，总是把电压、电流和磁链等变量的变换阵取为同一矩阵，即电流变换阵也就是电压变换阵，同时也是磁链变换阵。因此，本节会以电流变量来推导不同坐标系间的变换阵。

1.三相/两相变换（3/2变换）

在三相静止坐标系ABC和两相静止坐标系αβ之间的变换，简称3/2变换（即Clarke变换）。图2-5所示为ABC和αβ两个坐标系。为方便起见，取A相方向与α相方向重合。设三相绕组每相有效匝数为N₃，两相绕组每相有效匝数为N₂，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化，图中磁动势矢量的长度是随意的。

按坐标变换原则，当三相总磁动势与两相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此有

写成矩阵形式为

图2-5 三相和两相坐标系统

令C₃/2表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则：

对式（2-3）求逆可得到从两相坐标系到三相坐标系的变换矩阵C₂/3：

考虑变换前后电流幅值不变，在此前提下，式（2-3）改写为

式（2-4）可改写为

考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以得出

式（2-7）的证明请参考其他文献，这里为阐述的连续性，证明过程略去。因此，式（2-3）又可改写为(www.xing528.com)

式（2-4）又改写为

C^∗_2/3=C^∗-1_3/2=C^∗T_3/2 （2-9）

由式（2-9）可以看出，功率不变的条件下，坐标变换的好处是只有一个坐标系间变换的变换阵，因此求坐标反变换时计算方便。由式（2-5）可以看出，幅值不变的条件下坐标变换的好处是容易理解，便于对控制系统变量分析，然而需要注意的是，在该条件下，坐标变换前后，功率发生了变化，变换后总功率为变换前总功率的2/3。本书出于对控制系统变量方便分析为目的，选择在幅值不变条件下进行坐标变换，因此得到的三相/两相坐标变换阵为式（2-5），其坐标反变换阵为式（2-6）。

如果三相绕组是联结不带零线，则有i_A+i_B+i_C=0，或i_C=-i_A-i_B。将其代入式（2-5）和式（2-6），并整理后得

2.两相/两相旋转变换（2s/2r变换）

在两相静止坐标系αβ和两相旋转坐标系dq之间的变换，简称2s/2r变换（即Park变换），其中s表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一起，如图2-6所示。图中，由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，而直接标上电流i。d、q轴和矢量F都以角速度ω₁旋转，因此分量i_d、i_q的长短不变，相当于d、q绕组的直流磁动势。但α轴、β轴是静止的，α轴与d轴的夹角θ随时间变化，因此i在α轴、β轴上的分量i_α、i_β的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。

图2-6 两相静止和两相旋转坐标系

由此可见，i_α、i_β和i_d、i_q之间存在着下列关系：

则由两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换矩阵C_2s/2r为

对式（2-13）求逆可得到由两相旋转坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵C_2r/2s为

3.3s/2r变换

如果要从三相静止坐标系ABC变换到任意转速的两相旋转坐标系dq，可以利用前面已导出的变换阵，先将ABC坐标系变换到静止αβ坐标系，取α轴与A轴一致，然后再从αβ坐标系变换到dq坐标系，取α轴到d轴的夹角为θ。可得