信号采样与香农采样定理详解

为了有利于数学分析，我们将定时采样和A-D转换用一个周期性瞬时接通的理想采样开关来等效，所谓理想采样开关指的是其输出为一系列δ脉冲串，且每个脉冲当量正比或等于其输入信号的瞬时值。由频谱分析可以证明，当实际采样开关的闭合时间与系统对象的时间常数相比非常小时，这个假定是正确的。连续函数x（t）经过采样之后变成的离散序列就应为

式中 T———采样周期；

k=0，±1，±2，…的整数；，为满足单位脉冲函数定义的脉冲串，它相当于一种载波信号。

在实际系统中，信号从t=0开始，即当t＜0时，x（t）=0，所以采样过程如图5-3所示。此时式（5-1）可表达为

图5-3 x（t）采样后变x^∗（t）

由采样开关调制以后，离散序列x^∗（t）的拉普拉斯变换为

这是个超越函数。为了进一步弄清楚采样信号的特征，下面对它的频谱进行分析。根据傅里叶（Fourier）级数定义，周期性的单位脉冲序列可以展开成下列级数：

式中 ω_s=2πf_s=2π/T；

T——采样周期；

f_s——采样频率。

周期性单位脉冲序列的傅里叶级数中包含有ω=0、±ω_s、±2ω_s、…的频率分量，每个频率分量的大小相等，均为1/T，按式（5-1）即有

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它的拉普拉斯变换为

式（5-3）是X^∗（s）与x（kT）的联系，而式（5-6）则是X^∗（s）与X（s）的联系。

令s=jω，代入式（5-6），则可得采样后离散序列的频谱为

X（jω）为x（t）的频谱，X^∗（jω）为x^∗（t）的频谱。通常，连续函数x（t）的频带宽度有限，故X（jω）为一孤立的频谱，其截止角频率为ω_max，如图5-4a所示。采样之后，离散序列x^∗（t）的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值为|X（jω）|的1/T，周期为ω_s，k=0时的主频谱为X（jω）/T。

根据采样频率的大小，X^∗（jω）可能有两种情况：一种是ω_s≥2ω_max，频谱曲线不会发生重叠，如图5-4b所示。如果以理想的低通滤波器（图b的虚线），滤掉ω≥ω_max的全部高频分量，保留主频谱，那么X（jω）的原形将被保存下来，采样信号基本上能够复现x（t）。这时，采样开关相当于一个比例环节，其传递函数为1/T。

另一种是ω_s＜2ω_max，频谱曲线发生重叠，如图5-4c所示。X^∗（jω）的形状遭到歪曲，即使使用低通滤波器，采样前后的信号也不会一致。

图5-4 信号采样前后的频谱

a）x（t）的X（jω） b）ω_s≥2ω_max时的X^∗（jω） c）ω_s＜2ω_max时的X^∗（jω）

因此，为了要使采样信号经过低通滤波器后有可能完全复现原有信号，采样频率必须大于或者等于原有信号频谱的截止频率的两倍（实际应用中，一般总是取ω_s＞2ω_h，而不取恰好等于2ω_h的情况）：

ω_s≥2ω_max （5-8）

式（5-8）又称为香农采样定理。在数字控制系统中，香农采样定理是必须严格遵守的一条准则。香农采样定理是选择采样周期T的一个重要依据，但它只是给出了一个选择采样周期的指导原则，即它给出的是由采样脉冲序列无畸变地再现原连续信号所允许的最大采样周期。显然，采样周期选得越短，控制效果也会越好。但是，采样周期选得过短，将增加不必要的计算负担，造成实现较复杂控制规律的困难。反之，采样周期选得过长，受到系统延迟的影响，降低系统的动态性能，甚至有可能导致整个控制系统失去稳定。

因此，信号采样的周期T是数字控制系统设计中一个关键因素，要依据实际情况综合考虑，合理选择。