正弦量的角频率和相位差关系分析

按正弦函数规律变化的电压或电流称为正弦交流电。

解题微课

以电流为例，正弦量一般的表达式为

式（6－10）也称为解析式，反映了电流i随时间t变化的函数关系。Im是正弦量的振幅值，表征了正弦交流电流变化幅度的大小。ω是角频率（单位是rad/s），表征了电流变化的快慢。φi是初相位，能够表征正弦电流变化的初始值。这三者是正弦量必备的三要素。当一个正弦量知道了这三要素，也就能确定在任意时间t时正弦电流的瞬时值i。

例6－7　一个正弦交流电流的解析式是i＝，从该式中确定电流的振幅值、角频率和初相位这三要素。确定在t1＝0和t2＝3.33ms时刻该电流达到的瞬时值。

解题步骤如下。

（1）将该电流的解析式与正弦量的一般表达式i＝Imsin（ωt＋φi）作比较，可得

振幅值：Im＝10A；　角频率：ω＝100π＝314rad/s

初相位：或者φi＝30°

（2）将t1＝0代入解析式，记此时的电流瞬时值为i1，则

（3）将t2＝3.33ms代入解析式，记此时的电流瞬时值为i2，则

由此可知，该正弦电流在0时刻的电流为5A，是该正弦量的初始值。而在3.33ms时，达到了它的振幅值10A。

如果将上例中的正弦电流在不同时刻的电流瞬时值逐一算出，且在以时间t为横坐标、电流i为纵坐标的坐标轴上描点，则可得到形态及位置如图6－4所示的一般正弦电流波形。

1.正弦量的三要素

1）振幅值

振幅值是正弦量瞬时值能达到的最大值，简称幅值。在图6－4中，振幅值Im即是从零到波形顶峰的数值，因此也叫峰值。

标注振幅值时，正弦量带有下标m，如电流Im或者电压Um。

图6－4　正弦量

2）角频率

角频率ω表示在单位时间内正弦量经历的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）。

在图6－4中，角频率ω虽然不能被直观反映，但通过其他变量可知它们之间的关系。

在图6－4中，电流值从t1到t2时刻，实现了一次完整的按正弦规律的变换。从t2时刻起，又将重复原先的规律变化。像这样周期性交变量循环一次的时间就叫作周期，用T表示，单位是秒（s）。

交流量每秒钟完成循环的次数称为频率，用f表示，单位是赫兹（Hz）。如果交流量在1s内完成的周期循环次数是1次，那么其频率为1Hz。周期与频率的关系为

在一个周期T内，正弦量经历的电角度是2π个弧度，因此角频率ω与周期T以及频率f的关系为

3）初相位

正弦量在任一时刻的瞬时值都和电角度（ωt＋φi）有关，这个电角度称为正弦量的相位。而φi则是正弦量在计时起点时刻t＝0时的相位，称初相位，简称初相。相位及初相一般用弧度表示，工程上也允许用角度表示。规定：初相≤π，即≤180°，要以正弦值由负变正时的零点作为确定初相位的零点。

例6－8　例6－7中的电流也可写作i＝10sin（314t＋30°）A，求它的周期、频率。如果该电流的参考方向取反，请写出它的函数式，并以ωt为横坐标画出电流i的波形图。

解题步骤如下。

（1）从表达式已知电流的角频率ω＝314rad/s，则

（2）若电流的参考方向取反，则交流电流的瞬时值皆反，其解析式也异号，写成

（3）根据三角函数的诱导公式，改写该式后发现，改变参考方向的结果是将正弦量的初相加上（或减去）π，振幅与角频率等都不变。

（4）将取反后的解析式初相（π＋30°）转变成－150°，并画波形图如图6－5所示。

图6－5　例6－8波形图

改变参考方向后的函数解析式为

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比较例6－7和例6－8的波形图，两者的初相位相差π，且因为是同频率，因此无论在任何时刻，两者的相位差始终不变。

2.相位差

两个同频率正弦量之间的相位之差，即相位差。

设有两个同频率的正弦量u和i，分别为u＝Umsin（ωt＋φu）、i＝Imsin（ωt＋φi），则两者的相位差为

式（6－13）表明，同频率正弦量之间的相位差就是初相之差，是一个常数。如果两个正弦量不同频率，则相位差将不断地随时间变化，两者没有比较的意义。

从式（6－13）可得出同频率正弦量的相位差一般有以下几种关系。

（1）超前：φui＞0，电压u超前电流i一个φui相位（或称电流i滞后电压u）。

（2）滞后：φui＜0，电压u滞后电流i一个φui相位（或称电流i超前电压u）。

图6－6（a）和图6－6（b）分别描绘了超前、滞后关系。一个正弦量比另一个正弦量超前，表示前者比后者到达零值或最大值的时间要早，而后者晚于前者，也称后者滞后前一个正弦量。

（3）同相：φui＝0，电压u和电流i之间没有相位差，两者到达零值或最大值的时间总是相同的，如图6－6（c）所示。

（4）正交：φui＝±90°，电压u与电流i的相位差为90°，表示一个正弦量超前另一个正弦量90°，如图6－6（d）所示。

（5）反相：φui＝±180°，电压u与电流i的相位差为180°。两个正弦量反相，则一个正弦量达到正的最大值时，另一个正弦量达到负的最大值。改变参考方向的正弦量也与原正弦量反相，如例6－7和例6－8两个波形所示。

图6－6　同频率正弦量的相位关系示例

3.有效值与平均值

1）有效值的定义

描述正弦交流电的大小除了用振幅值外，还常用有效值。

电路从能量的观点看，可以实现能量的转换。如果正弦交流电流i通过电阻在一个周期内产生的热量，与相同时间内直流电流I通过电阻R产生的热量相等，就称这个直流电流I的数值为交流电i的有效值。

设直流电流I在时间T内通过电阻R产生的热量为Q，则有

交流电流i通过同样的电阻R，在一个周期T内产生的热量为

由于两者的热量相等，因此有可得

式（6－14）中的I就是交流电i的有效值，也叫均方根值。其根号前只取正号，负值无意义。

2）正弦量的有效值

对一个正弦交流电流i＝Imsinωt而言，其有效值为

它表示振幅值为1A的正弦电流，在电路能量转换上的实际效果与0.707A的直流相当。

同理，正弦电压的有效值为

测量交流电压和电流的常用仪表，其显示的数字均为有效值。电机及电器铭牌上标注的也都是有效值。例如，电视机标注电压220V，是有效值，该交流电压的最大值为311V。

3）平均值

工程上有时也用到周期性交流电流的平均值。对正弦量而言，平均值是指从零点开始的半个周期内的平均值，而非一个周期内交变量的平均值。根据该定义，一个i＝Imsinωt的正弦量，其平均值为

练一练：

已知i1＝20sin（314t－120°）A，i2＝10sin（314t＋30°）A，分别求出两电流的振幅值、有效值和初相位以及两者的相位差，并且在同一坐标内画出两电流的波形图。

（1）电流i1的振幅值Im1、有效值I1和初相位φ1：_______________________________。

（2）电流i2的振幅值Im2、有效值I2和初相位φ2：________________。

（3）两者相位差：_____________________________________________。

（4）画两电流的波形图。

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