波浪物理模型的控制方程优化

在均匀、不可压缩、无黏性流体中，三维无旋的流体运动满足势波运动的基本方程，即势函数的拉普拉斯方程。方程形式如下：

其中，φ为速度势，φ=φ（x，y，z，t），t为时间，（x，y，z）为笛卡尔坐标；流体质点在x、y和z三个方向上速度分量为（u，v，w）=（φx，φy，φz）。

如图2.1所示为波浪物理模型中常见的铰接式造波机在垂直方向上的结构示意图。造波板围绕某一个中心做摆动。

图2.1　造波机垂直方向上的结构示意图[2]

描述波浪物理模型域内的流体运动除基本方程之外，边界条件包括自由表面边界条件、底部边界条件、造波机边界条件以及侧边界条件。

设z=η（x，y，t）为自由表面的垂向位移，即波面高程，由此描述自由表面的函数如下：

自由表面随流体运动，在自由表面上的流体质点在运动中始终保持在自由表面上，而不会离开自由表面。即自由表面上流体法向速度与自由面的法向速度相同，可表示为如下形式的自由表面运动学边界条件：

因此，

随着波浪的形态自由表面上的压力应该是均匀的，因此由伯努利方程给出了自由表面的动力学边界条件，如下列方程所示：

式中：g为重力加速度。

自由表面边界条件的线性化形式为(www.xing528.com)

合并式（2.6）和式（2.7）并消去波面高程η，可得

底部边界条件通常为无流动条件，即

式中：h为静水深。

对于侧边界的边界条件，当x或y逐渐增大至接近于无限大时速度势应该有限制条件。在造波机处，即x=0时需要满足运动学边界条件。设造波板运动位移函数为X=X（y，z，t），则造波机处的边界条件为

式（2.10）的线性化形式如下：

铰接式造波机的造波板位移函数可描述为以下形式：

其中，X0（y，t）为造波机水面处的造波板运动位移；f（z）为造波机运动形态函数[2，4]，它表示了不同造波板的运动形式，即

式中：z=-（h+l）给出了铰接中心的垂向位置（-h＜l≤∞），如图2.1所示；d为铰接中心在水底之上的高度，且d≥0。如图2.2所示为铰接式造波机的几种不同类型的造波板运动形式[2]。图2.2（c）和图2.2（d）为铰接中心位于水底和高于底部的两种类型，在这两种情况下l≤0，d=-l。图2.2（a）和图2.2（b）为铰接中心位于水底以下的两种类型，在这两种情况下l≥0，d=0。因此，为确保造波机运动形态函数f（z）的连续性，给定限制条件d=-l或d=0（l≥0时）。

图2.2　几种不同类型的造波板运动形式