线性波的实例详解

首先应用线性波对考虑色散修正和衰减模态修正的特定统一造波理论进行验证。数值波浪水槽的长度为160m，平底水深h=0.7m，波浪要素为波高H=0.05m，周期T=1s。由此得到波长为L=1.55m，相对水深kh=2.83。数值模拟的时间步长取为dt=0.01s，空间步长取为dx=0.1m。数值模型的输出结果包括波面高程η和定义为水平速度沿水深积分的通量P（P通量）。

为了对某一时间序列yk（t）和预期的时间序列xk（t）进行比较，引入两种相对误差。ErrRMS给出了均方根误差，ErrH给出了幅值的相对误差。定义如下：

在数值波浪水槽中，选定x=93.2m为物理模型的造波板平均位移的位置，即X（t）=0在数值波浪水槽中的位置。将该位置的数值模拟计算结果与线性波浪理论解进行比较，波面高程η的相对误差为ErrRMS=1.0%，ErrH=-0.04%；P通量的相对误差为ErrRMS=1.0%，ErrH=3.79%。由于Boussinesq模型的非线性特性，在数值模拟的结果中存在高阶波，由此导致了与线性波浪理论解的误差。

应用特定统一造波理论计算造波板运动位移作为物理模型的控制信号。由于该实例为纯粹的线性波，式（5.25）中平均速度可为造波板平均位移处的速度。为了消除MIKE 21 BW数值模拟造成的误差对平均P通量的影响，将式（5.25）修改为

式中：P（x，t）为数值模型的解；x0为造波板平均位移在数值波浪水槽中的位置，本例中x0=93.2m；ωc为高通滤波特征频率，其值应远小于波浪频率，在此选取ωc=2π/30 Hz。

分别采用显式的前差Euler（一阶）格式和中心差（二阶）格式对式（5.31a）进行离散，数值求解Xsw（t）。初始时刻选取当（x0，t）达到峰值的时刻，此时对应Xsw（t）=0。选取与MIKE 21 BW模拟相同的时间步长，即dt=0.01s。求解得到的Xsw（t）时间序列如图5.6所示。

图5.6　浅水条件下Xsw（t）与色散修正后X（t）的比较

由于Biesel传递函数c0在浅水条件下存在极限，即kh→0时c0→kh。因此按照线性造波理论可得(www.xing528.com)

式中：Xli（t）为线性造波理论的造波板运动位移理论解为在浅水条件下线性造波理论的造波板运动位移理论解。

与理论解比较，采用一阶差分格式数值解Xsw（t）的误差为ErrRMS=2.65%和ErrH=3.74%；二阶差分格式的误差为ErrRMS=3.10%和ErrH=3.79%。可见，本例中二阶差分格式不具优势。

应用式（5.26）对Xsw（t）进行色散修正得到预期的造波板运动位移X（t），色散修正前后Xsw（t）与X（t）的比较如图5.6所示，两者之间的差异较大，可见色散修正具有显著影响。与理论解Xli（t）相比较，采用一阶差分格式数值解X（t）的误差为ErrRMS=2.60%和ErrH=3.71%；二阶差分格式的误差为ErrRMS=3.05%和ErrH=3.58%。

由于采用MIKE 21 BW数值模拟的结果计算造波板运动位移Xsw（t）和X（t），上述X（t）的误差包括了数学模型（MIKE 21 BW）造成的误差以及特定统一造波理论计算过程的误差。为了剔除数学模型造成的误差而关注特定统一造波理论计算过程的误差，用线性波浪理论的速度场理论解替代数值模拟的解来计算X（t）。在式（5.31a）中用理论解U（0，t）替换U～（x0，t）来计算Xsw（t）和X（t），并与式（5.32）的线性造波理论解相比较。采用一阶差分格式时Xsw（t）的误差为ErrRMS=2.22%和ErrH=-3.3×10-4；X（t）的误差为ErrRMS=2.22%和ErrH=-0.11%。采用二阶差分格式时Xsw（t）的误差为ErrRMS=4.7×10-4和ErrH=6.58×10-4；X（t）的误差为ErrRMS=8.9×10-5和ErrH=-1.26×10-4。可见整个计算过程中误差主要来自于数学模型。

当采用双信号模式控制系统时，图5.7给出了由规则波运动造波板处的波面高程。ηI，0（t）为物理模型的最终控制信号，衰减模态修正部分的波面高程与行进波部分的波面高程存在90°的相位差。根据线性波理论有

图5.7　规则波运动造波板处波面高程

将计算解与上述理论解进行比较，采用一阶差分格式数值解的误差为ErrRMS=1.89%和ErrH=3.66%；二阶差分格式的误差为ErrRMS=1.97%和ErrH=3.58%。此时，误差中同样包含有数学模型计算造成的误差。通过该线性波的实例，波浪水槽确定性联合模拟的过程得到了初步验证。