时域有限差分法优化方案

时域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method,FDTD算法)是一种利用计算机对电磁场进行数值计算的方法[1],可以用来解决太赫兹波在功能器件中的传播问题。其基本思想是将麦克斯韦方程在空间和时间上做离散处理,利用周期性边界条件,将空间网格点的场分布函数随时间的推移进行递推演化,计算电磁场的传播及其与物质的相互作用。在设计太赫兹功能器件时,FDTD算法能够对器件传输特性和场分布特性进行仿真,原则上可以处理超材料、光子晶体和亚波长孔阵列等任意结构的问题,只要空间网格划分足够精细,便可保证计算结果的精确度。

常用的空间网格划分方式为Yee网格,其单元结构Yee元胞如图3.1所示,节点的坐标为(i,j,k)=(iΔx,jΔy,kΔz),其中Δx、Δy和Δz分别为节点沿x、y和z方向的空间步长,于是电磁场函数可表示为

图3.1　FDTD算法中的Yee元胞

式中,Δt为时间步长;n为整数。由式(3.1)可知,电磁场函数ϕ(x,y,z,t)对各个变量x、y、z和t的偏微分可表示为

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对于Yee元胞,电场和磁场各取样节点在空间和时间上呈交替分布,每个磁场分量由四个电场分量环绕,同时每个电场分量也由四个磁场分量环绕,这样的取样方式符合法拉第电磁感应定律和安培环路定理,且适合用麦克斯韦方程进行差分计算,三维空间的麦克斯韦方程的差分形式为

空间步长和时间步长的取值越小,对计算机配置的要求越高,计算所需时间越长,计算结果越精细。另外,时间步长Δt的取值与空间步长Δx、Δy和Δz有关,需满足如下条件：

否则将影响电磁场数值计算结果的稳定性。

此外,FDTD算法受计算机中央处理器和内存的限制,只能在有限的区域进行模拟计算,这就要求在计算区域的边界上对电磁场分布进行限制,通过在有限的空间里施加边界条件可以实现无限空间的计算。我们在器件的仿真过程中采用的边界条件均为完美匹配层(Perfectly Matched Layer,PML),它将电磁场分量在计算区域边界处分解,并对每个被分解的分量进行损耗,这样就相当于在计算网格的边界处设置了一种特殊的吸收介质,其波阻抗与相邻介质的波阻抗完美匹配,电磁波将无反射地进入PML消耗殆尽,对于计算区域内的电磁波而言等同于在无限大的空间上传播。