平面立体常见的三视图 - 棱柱和棱锥

平面立体主要有棱柱、棱锥等。它们的表面都由棱面和底面组成，各面之间的交线称为棱线。

（一）棱柱

在一个平面立体中，若各棱面的交线互相平行，而上、下底面平行且全等，则该平面立体称为棱柱。棱柱有直棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱（侧棱与底面倾斜）之分。底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。

1.棱柱的三视图

（1）空间及投影分析。

图2-11（a）所示为一正六棱柱。它由六个棱面和两个底面组成。它的上、下两底面均为水平面，它们的水平投影均反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚成直线。棱柱前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影和侧面投影积聚成一直线。棱柱的其他棱面均为铅垂面，水平投影均积聚成直线。正面投影和侧面投影均为类似形。

图2-11　正六棱柱体的三视图

棱线AB为铅垂线，水平投影积聚为一点a（b），正面投影和侧面投影均反映实长，即：a′b′=a″b″=AB。上底面上的边DE为侧垂线，侧面投影积聚成一点 d″（e″），水平投影和正面投影均反映实长，即de=d′e′=DE。下底面上的边BC为水平线，水平投影反映实长，即bc=BC，正面投影b′c′和侧面投影b″c″均小于实长，如图2-11（a）所示。其余棱线，也可照此分析。

（2）画三视图（见图2-11（b））。

画棱柱三视图时，一般应先画出棱柱下底面的各个投影，然后取棱柱的高，再画出上底面的各个投影，最后用直线（棱线）连接上、下底面的对应顶点，即可完成三视图。

各种形状的直棱柱在机件中用得较多，如常见的V形铁、导轨以及各种型钢，都属于直棱柱。图2-12中列出了四种直棱柱的三视图，供学员自行进行投影分析。

从以上图例中可以看出，直棱柱都是由两个全等多边形底面以及均是矩形的棱面所围成的立体。

直棱柱三个视图的特征是：一个视图有积聚性，反映棱柱形状特征；而另两个视图都是由实线或虚线组成的矩形线框。

画各种棱柱的三视图时，应先画出三个视图的中心线、轴线，用以作为画图的基准线，再画有积聚性的即能反映棱柱特征的视图，接着按视图间的投影关系完成其他两面视图。

*2.棱柱表面上点的投影

正棱柱各棱线、棱面均为特殊位置线、面，所以都有积聚性投影。因此，棱柱表面上点的投影可利用积聚性特点进行作图。如图2-13所示，已知正六棱柱棱线AB上M点的正面投影m′，需求出该点的水平投影m和侧面投影m″。由于AB为铅垂线，它的水平投影有积聚性，所以M点的水平投影m与点a（b）重合；而M点的侧面投影m″必在棱线AB的侧面投影a″b″上，且与m′同高。若已知正六棱柱棱面ABCD上点N的正面投影n′，要求它的水平投影n和侧面投影n″，做法如下。因为ABCD为铅垂面，它的水平投影a（b）（c）d积聚成一直线段，所以N点的水平投影n必在该直线段上。根据n′和n两个投影就可求出N的侧面投影n″。

图2-12　四种直棱柱的三视图

图2-13　棱柱表面上取点

（二）棱锥

在一个平面立体中，底面是多边形，各棱面均为有一个公共顶点的三角形，这样的平面立体称为棱锥。当棱锥底面为正多边形，各棱面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。

1.棱锥的三视图

（1）空间及投影分析。(https://www.xing528.com)

图2-14（a）所示为一正三棱锥。它由底面△ABC和三个棱面△SAB、△SAC、△SBC围成。底面△ABC为一水平面，所以它的水平投影△abc反映实形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影s″a″（c″）积聚成一直线。边AB、BC为水平线，CA为侧垂线，棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，它们的投影特征可自行分析。

图2-14　正三棱锥的三视图

（2）画三视图（见图2-14（b））。

画棱锥三视图时，一般应先画出底面的各个投影，然后定出锥顶S的高并画出各个投影，再用直线（棱线）将它与底面多边形各顶点的同面投影连接起来，即可完成三视图。

*2.棱锥表面上点的投影

组成棱锥的棱线和棱面，在一般情况下，对投影面处于倾斜位置，此时，棱线上点的投影可利用“点在直线上，其三面投影必在直线的同面投影上”的原理直接作出；棱面上点的投影常利用辅助直线作出。也有些棱面对投影面处于特殊位置，此时，可利用平面的积聚性投影作图。

如图2-15所示，已知三棱锥棱SA上一点K的正面投影k′，只要按照点的投影规律，即可作出K点的水平投影k和侧面投影和k″。

图2-15　三棱锥棱上点的投影

如图2-16、图2-17所示，已知三棱锥棱面上点M的正面投影m′，求M点的其他两投影，可用以下两种方法作图。

方法1：过平面上的两个已知点作辅助线，如图2-16（a）上的 S、M两点，具体作图步骤如下。

（1）过 s′和 m′作直线，交 a′b′于d ′。

（2）由 d′，在 ab上求出d。

（3）连sd，由m′在该线上可求出m。

（4）由m′和m求出m″。

方法2：过已知点作平面上已知直线的平行线，如图2-17（a）上的DM平行于AB。具体作图步骤如下。

（1）过m′作a′b′的平行线，交s′a′于d′。

（2）由 d ′，在sa上求出d。

（3）过d作ab的平行线，由m′在该线上求出m。

（4）由 m′和m求出m″。

图2-16　作过已知两点的辅助线作图

图2-17　作平行于已知直线的辅助线作图