如何解决非协调接触的初始滑动问题？

如图2.4所示，圆柱体受到线载荷P的作用，随后施加切向力Q（Q＜μP）。由P引起的接触宽度和压力可由Hertz理论求出（假设接触行为不受切向牵引力Q的影响）。假设接触区不发生滑动，即在整个接触窄带-a≤x≤a上为满足无滑动条件的“黏着”区，则接触的两弹性体的位移关系为

ux1-ux2=const=δx　（2.17）

图2.4　受切向牵引力Q（Q＜μP）作用的两弹性圆柱接触面的切向力和位移分布

利用平面应变问题中弹性半空间的切向加载荷法向加载之间的相似性，可以得出切向力的分布为

由式（2.18）确定的切向力分布如图2.4中曲线A所示。可见，在接触区边缘，切向力趋于无穷大，要保持接触区不滑动，就需要有无穷大的摩擦系数。显然，真实情况是无法满足该条件的。因此，在接触区的边缘必然存在局部的滑动，接触区中心区域为“黏着”状态。

如果切向牵引力Q增大到其极限μP，使物体处于滑动的瞬间，则切向力的分布为

从由Hertz法向压力分布所产生的法向位移类推，可知在接触区表面的位移是按抛物线分布的。如果在中间点x=0处不产生滑动，则有

对于另一个接触表面，有一个符号相反的类似表达式。这些切向位移的分布只在原点处成立，在接触区的其他位置，如应用以上假设，则必然存在滑动。

如存在一个附加切向力q″，其分布为

(https://www.xing528.com)

该力作用于窄带-c≤x≤c（c＜a）上，利用式（2.21）类似的方程得到由这个力所产生的切向位移为

如果将q'与q″叠加起来，则在中心窄带-c≤x≤c内合成的位移是常数，如图2.3所示。

ux1=u'x1+u″x1=δ'x1+δ″x1=δx1　（2.23）

并且在另一个接触面上的对应点有

ux2=-δx2　（2.24）

将ux1和ux2代入式（2.18）表明，在窄带-c≤x≤c内满足无滑动条件，且这个区域的切向力合力可以由下式确定：

该值处处小于μP，因此在接触中心区域为“黏着”状态。在接触区的边缘c≤||x≤a处，q（x）=μp（x），为滑动区。黏着区的尺寸由如下切向力的值来确定：

因此有

按照如上分析可知，如果保持法向载荷P为常数，切向牵引力Q从零开始持续增加，微小滑动立即会在接触区的两个边缘处产生，并且根据式（2.27）向中心扩展接触表面的切向力分布如图2.4中曲线B所示。当Q接近于μP时，c接近于零，黏着区在a=0处收缩为一条线。此时如果继续增加Q，则接触的两物体将发生刚体位移（全局滑动）。