PID控制算法及图解解析

1.PID的算法

PID控制系统原理框如图2-1所示。

PID控制器调节输出，保证偏差（e）为零，使系统达到稳定状态，偏差是给定值（SP）和过程变量（PV）的差。PID控制的原理基于以下公式：

图2-1 PID控制系统原理框

公式中：M（t）是PID回路的输出，K_C是PID回路的增益，e是PID回路的偏差（给定值与过程变量的差），M_initial是PID回路输出的初始值。

由于以上的算式是连续量，必须将连续量离散化才能在计算机中运算，离散处理后的算式如下：

式中，M_n是在第n个采样时刻PID回路的输出的计算值；K_C是PID回路的增益；K_I是积分项的比例常数；K_D是微分项的比例常数；e_n是第n个采样时刻的回路的偏差值；e_n-1是第n-1个采样时刻的回路的偏差值；e_x是第x个采样时刻的回路的偏差值；M_initial是PID回路输出的初始值。

再对以上算式进行改进和简化，得出如下计算PID输出的算式：

M_n＝MP_n＋MI_n＋MD_n （2-3）式中，M_n是第n个采样时刻的计算值；MP_n是第n个采样时刻的比例项值；MI_n是第n个采样时刻的积分项的值；MD_n是第n个采样时刻微分项的值。

MP_n＝K_C∗（SP_n-PV_n） （2-4）式中，MP_n是第n个采样时刻的比例项值；K_C是增益；SP_n是第n个采样时刻的给定值；PV_n是第n个采样时刻的过程变量值。很明显，比例项MP_n数值的大小和增益K_C成正比，增益K_C增加可以直接导致比例项MP_n的快速增加，从而直接导致M_n增加。

MI_n＝K_C∗T_S／T_I∗（SP_n-PV_n）＋MX （2-5）式中，K_C是增益；T_S是回路的采样时间；T_I是积分时间；SP_n是第n个采样时刻的给定值；PV_n是第n个采样时刻的过程变量值；MX是第n-1个采样时刻的积分项（也称为积分前项）。很明显，积分项MI_n数值的大小随着积分时间T_I的减小而增加，T_I的减小可以直接导致积分项MI_n数值的增加，从而直接导致M_n增加。

MD_n＝K_C∗（PV_n-1-PV_n）∗T_D／T_S (2-6）式中，K_C是增益；T_S是回路的采样时间；T_D是微分时间；PV_n是第n个采样时刻的过程变量值；PV_n-1是第n-1个采样时刻的过程变量。很明显，微分项MD_n数值的大小随着微分时间T_D的增加而增加，T_D的增加可以直接导致积分项MD_n数值的增加，从而直接导致M_n增加。

【关键点】式（2-3）～式（2-6）是非常重要的。根据这几个公式，读者必须建立一个概念：增益K_C的增加可以直接导致比例项MP_n的快速增加，T_I的减小可以直接导致积分项MI_n数值的增加，微分项MD_n数值的大小随着微分时间T_D的增加而增加，从而直接导致M_n的增加。理解这一点，对于正确调节P、I、D三个参数是至关重要的。

2.PID的算法图解(www.xing528.com)

以上对PID控制进行了数学计算，但对于数学功底薄弱的初学者来说较难理解。以下将用图解的方法对PID参数的作用进行说明，这样更加直观易懂。

（1）纯比例控制曲线

纯比例控制曲线如图2-2所示。

图2-2中，假设被调量（如果是电炉，那么被调量是温度）偏高时，调门应关小，即PID为负作用。在定值有一阶跃扰动时，调节器输入偏差为-△e。此时Mout（即PID运算后的输出值）也应有一阶跃量△e.Kc，然后被调量不变。经过一个滞后期t2，被调量开始响应Mout。因为被调量增加，Mout也开始降低。一直到t4时刻，被调量开始恢复时，Mout才开始升高。两曲线虽然波动相反，但是图形如果反转，就可以看出是相似形。

（2）纯积分控制曲线

纯积分控制曲线如图2-3所示。

图2-2 纯比例控制曲线

图2-3 纯积分控制曲线

积分作用下的调节曲线，因输出的响应较比例作用不明显，故被调量开始变化的时刻t2，较比例作用缓慢。在t1到t2的时间内，因为被调量不变，即输入偏差不变，所以输出以不变的速率上升，即呈线性上升。调节器的输出缓慢改变，导致被调量逐渐受到影响而改变。在t2时刻，被调量开始变化时，输入偏差逐渐减小，输出的速率开始降低。到t3时刻，偏差为0时，输出不变，输出曲线为水平。然后偏差开始为正时，输出才开始降低。到t4时刻，被调量达到顶点开始回复，但是因偏差仍旧为正，故输出继续降低只是速率开始减缓。直到t5时刻，偏差为0时，输出才重新升高。

（3）比例积分控制曲线

如图2-4所示，定值有阶跃扰动时，比例作用使输出曲线Mout同时有一个阶跃扰动，同时积分作用使Mout开始继续增大。t2时刻后，被调量响应Mout开始增大。此时比例作用因△e减小而使Mout开始降低（如图中点画线Mout（δ）所示）；但是前文说了积分作用与△e的趋势无关，与△e的正负有关，积分作用因△e还在负向，故继续使Mout增大，只是速率有所减缓。比例作用和积分作用的叠加，决定了Mout的实际走向，如图2-4中Mout（δ_i）所示。只要比例作用不是无穷大，

图2-4　比例积分控制曲线

或是积分作用不为零，从t2时刻开始，总要有一段时间是积分作用强于比例作用，使得Mout继续升高，然后持平（t3时刻），之后降低。在被调量升到顶峰的t5时刻，同理，比例作用使Mout也达到顶点（负向），而积分作用使得最终Mout的顶点向后延时（t6时刻）。