电路题习题精解及答案推导

1.某电容C=1F，已知初始电压u_C（0）=1V，电流波形如图5-2b所示。

（1）求t≥0时的u_C（t），并画出其波形。

（2）计算t=3s时电容的储能。

解：（1）由电容电流波形可得其数学表达式为

根据电容元件积分形式的电压电流关系，可得

当0≤t≤2时，

而 u_C（2）=2V

当2<t时，

则电容电压u_C（t）的波形如图5-3所示。

图5-2 题1图

图5-3 题1解图

（2）根据电容元件储能公式，当t=3s时，有

2.某电感L=1H，已知初始电流i_L（0）=0A，电压波形如图5-4b所示。

（1）求t≥0时的i_L（t），并画出其波形。

（2）计算t=2s时电感的储能。

解：（1）由电感电压波形可得其数学表达式为

图5-4 题2图

根据电感元件积分形式的电压电流关系，得

当0≤t≤1时

而 i_L（1）=1A

当1≤t≤2时

而 i_L（2）=1A

当2≤t时，

则电感电流i_L（t）的波形如图5-5所示。

图5-5 题2解图

（2）根据电感元件储能公式，t=2s时，有

3.如图5-6所示电路，已知t>0时u_C（t）=（2-e^-0.5t）V，求t>0时的电压u（t）。

解：根据电容元件微分形式的电压电流关系，得

由图5-6所示电路，有

图5-6 题3图

4.如图5-7所示电路，已知t>0时，u_C（t）=2+3e^-2t，求t>0时的电流i（t）。

解：设图5-7所示电路中各元件的电压、电流均采用关联参考方向，可得

图5-7 题4图

5.电路如图5-8所示，在t=0时，开关S闭合，开关闭合前电路已处于稳态。求初始值u_C（0₊）和i（0₊）。

解：（1）求初始状态u_C（0_-）。开关S闭合前电路已处于直流稳态，电容看做开路，得到换路前0-时刻等效电路如图5-9a所示，显然，u_C（0_-）=-10V。

（2）确定独立初始值u_C（0₊）。有损耗一阶电路中电容电压不可能突变，由换路定律有

u_C（0+）=u_C（0_-）=-10V

图5-8 题5图

（3）由0₊时刻等效电路确定初始值i（0₊）。电容用电压值为u_C（0₊）的电压源替代，得换路后的0₊时刻等效电路如图5-9b所示，有回路电压方程

10i（0₊）+10[i（0₊）-1]+u_C（0₊）+10=0

可解得 i（0₊）=0.5mA

6.电路如图5-10所示，在t=0时，开关S闭合，开关闭合前电路已处于稳态。求初始值u_L（0₊）和i（0₊）。

解：（1）求初始状态i_L（0_-）。换路前电路已处于直流稳态，电感看做短路，得换路前0_-时刻等效电路如图5-11a所示。显然有

图5-9 题5解图

图5-10 题6图

图5-11 题6解图

（2）确定独立初始值i_L（0₊）。有损耗一阶电路中电感电流不能突变，由换路定律有

i_L（0₊）=i_L（0_-）=1.2A

（3）由0₊时刻等效电路确定初始值u_L（0₊）和i（0₊）。电感元件用电流值为i_L（0₊）的电流源替代，得换路后的0₊时刻等效电路如图5-11b所示，有回路电压方程

10i（0₊）+5[i（0₊）-i_L（0₊）]=30

可解得

而

u_L（0₊）=5[i（0₊）-i_L（0₊）]=5×（2.4-1.2）V=6V

7.如图5-12所示电路，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关S闭合，求初始值u_L（0₊）、i_C（0₊）和i（0₊）。

解：（1）求初始状态u_C（0_-）和i_L（0_-）。换路前电路已处于直流稳态，电容看做开路，电感看做短路，得换路前的0_-时刻等效电路如图5-13a所示。显然有

u_C（0_-）=8i_L（0_-）=8×1V=8V（2）确定独立初始值u_C（0₊）和i_L（0₊）。由换路定律有

u_C（0₊）=u_C（0_-）=8V

i_L（0₊）=i_L（0_-）=1A

图5-12 题7图

图5-13 题7解图

（3）由0₊时刻等效电路确定初始值u_L（0₊）、i_C（0₊）和i（0₊）。换路后的0₊时刻等效电路如图5-13b所示，有

8.电路如图5-14所示，在t<0时，开关S在位置1，电路已处于稳态。在t=0时，开关S由位置1接到位置2。求t>0时的u_C和i_R。

解：利用一阶电路三要素法公式求换路后的u_C和i_R。

图5-14 题8图

（1）求初始值u_C（0₊）和i_R（0₊）

换路前电路已处于稳态，电容看做开路，不难求得电容初始状态u_C（0_-）=20V，由换路定律有

u_C（0₊）=u_C（0_-）=20V

电容用电压值为u_C（0₊）的电压源替代，得换路后的0₊时刻等效电路如图5-15a所示，有如下电压方程：

解上述方程得

i_R（0₊）=-1A

（2）求稳态值u_C（∞）和i_R（∞）

换路后，电路再次达到直流稳态时，电容看做开路，得到t→∞时的等效电路如图5-15b所示，显然

i_R（∞）=-2A

而

可解得

u_C（∞）=40V

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-15c所示，采用外加电压法，有如下电压方程：

解上述方程可得R₀=u₀/i₀=20Ω，则时间常数τ=R₀×C=20×0.1s=2s。利用三要素公式有

9.电路如图5-16所示，在t=0时，开关S闭合，开关闭合前电路已处于稳态。求t>0时的u_C。

解：（1）求初始值u_C（0₊）

换路前电路已处于稳态，不难求得电容初始状态u_C（0_-）=2V，由换路定律有

u_C（0₊）=u_C（0_-）=2V

图5-15 题8解图

（2）求稳态值u_C（∞）

换路后t→∞时等效电路如图5-17a所示，由叠加定理不难求得

图5-16 题9图

图5-17 题9解图

（3）求电路的时间常数τ换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-17b所示，可得

R₀=（1+1）∥2=1Ω

故 τ=R₀×C=1×0.1s=0.1s

利用三要素公式有

10.电路如图5-18所示，开关S在t=0时断开，开关断开前电路已处于稳态。求t>0时的i_L。

图5-18 题10图

解：（1）求初始值i_L（0₊）

先求初始状态i_L（0_-），换路前电路已处于直流稳态，电感看做短路，0_-时刻等效电路如图5-19a所示，显然有

由换路定律有 i_L（0₊）=i_L（0_-）=2A

（2）求稳态值i_L（∞）

换路后，t→∞时等效电路如图5-19b所示，其结点电位方程为

可解得 U₁=5V

而

图5-19 题10解图

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电感元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-19c所示，可得

R₀=（5+2∥2）Ω=6Ω

故

利用三要素公式有

11.如图5-20所示电路，t<0时电路处于稳态。t=0时开关S闭合，求t>0时的u_C和i_C。

解：（1）求初始值u_C（0₊）换路前0_-时刻等效电路如图5-21a所示，显然有

u_C（0_-）=（3×20-20）V=40V

由换路定律有u_C（0₊）=u_C（0_-）=40V

（2）求稳态值u_C（∞）

换路后t→∞时等效电路如图5-21b所示，不难求得

图5-20 题11图

图5-21 题11解图

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=（10+10）∥20Ω=10Ω

故 τ=R₀×C=10×0.1s=1s

利用三要素公式可得

利用电容元件的电压电流关系可得

也可直接利用三要素法求解上述电容电流i_C，读者不妨用三要素法验证上述结果。

12.电路如图5-22所示，R₁=R₂=4kΩ，R₃=8kΩ，C=625μF，U_s已知，换路前电路已处于稳态，t=0时换路。

（1）求电路的时间常数。

（2）U_x为何值时，换路后电压u_C不出现暂态过程？

解：（1）换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-23a所示，显然有

R₀=R₁∥R₂∥R₃=（4∥4∥8）kΩ=1.6kΩ

故

τ=R₀×C=1.6×10³×625×10^-6s=1s

图5-22 题12图

图5-23 题12解图

（2）换路前电路已处于稳态，电容看做开路，不难求得电容初始状态为

u_C（0_-）=0.5U_s

由换路定律有

u_C（0₊）=u_C（0_-）=0.5U_s

换路后t→∞时等效电路如图5-23b所示，结点a的结点电位方程为

将元件参数代入上式可解得

U_a=0.4U_s-0.2U_x

即 u_C（∞）=U_a=0.4U_s-0.2Ux

由三要素表达式可知，欲使换路后的电压u_C不出现暂态过程，必须要求u_C（0₊）-u_C（∞）=0成立，即

0.5U_s-（0.4U_s-0.2U_x）=0

则 U_x=-0.5U_s

13.如图5-24所示电路，开关S位于1时电路处于稳态。在t=0时，开关S由位置1接到位置2，求t>0时的i和u_C。

解：换路前电路已处于稳态，由电路显然有，而电路换路后为零输入电路，故所求响应为零输入响应。

（1）求初始值u_C（0₊）和i（0₊）

由换路定律可知u_C（0₊）=u_C（0_-）=4V。电容元件用电压值为u_C（0₊）的电压源替代，可得换路后的0₊时刻等效电路如图5-25所示，得

i（0₊）=u_C（0₊）/100=4/100A=0.04A=40mA

图5-24 题13图

图5-25 题13解图

（2）求电路的时间常数τ

换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=（100∥100）Ω=50Ω

故

τ=R₀×C=50×0.01s=0.5s

则换路后所求零输入响应为

u_C=u_C（0₊）e^-t/τ=4e^-2tV t≥0₊

i=i（0₊）e^-t/τ=40e^-2tmA t≥0+

14.如图5-26所示电路，开关S位于1时电路处于稳态。在t=0时，开关S由位置1接到位置2，求t>0时的i₁和u_C。

解：由题意并结合电路可知所求响应为零输入响应。换路前电路已处于稳态，电容相当于开路，由电路显然有u_C（0_-）=-1V。

（1）求初始值u_C（0₊）和i₁（0₊）

由换路定律可知u_C（0₊）=u_C（0_-）=-1V。电容元件用电压值为u_C（0₊）的电压源替代，可得换路后的0₊时刻等效电路如图5-27a所示，得

图5-26 题14图

图5-27 题14解图

（2）求电路的时间常数τ

换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-27b所示，采用外加电压法，有如下电路方程：

解上述方程可得R₀=u₀/i₀=1/3Ω，则时间常数τ=R₀×C=1/3s。则换路后所求零输入响应为

u_C=u_C（0₊）e^-t/τ=-e^-3tV t≥0₊

i₁=i₁（0₊）e^-t/τ=0.5e^-3tA t≥0₊

15.如图5-28所示电路，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关S闭合，求t>0时的i（t）和i_L（t）。

解：换路前电路已处于稳态，由电路显然有i_L（0_-）=0A，故换路后电路为零状态电路，所求响应为零状态响应。

（1）求初始值i_L（0₊）和i（0₊）

由换路定律有i_L（0₊）=i_L（0_-）=0A，电感因其电流初始值i_L（0₊）为零而相当于开路，可得换路后的0₊时刻等效电路如图5-29a所示，得

图5-28 题15图(https://www.xing528.com)

（2）求稳态值i_L（∞）和i（∞）

换路后，t→∞时的等效电路如图5-29b所示，有

图5-29 题15解图

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电感元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=（1+1∥1）Ω=1.5Ω

故

则换路后所求零状态响应为

上述非状态变量i（t）响应的求解，除直接用三要素法外，也可在用三要素法先求得状态变量i_L（t）响应的情况下，再根据两类约束对i（t）进行求解。按后一种方法，换路后有

可见，所得结果与直接用三要素法求i（t）的结果完全一样。

16.图5-30所示电路原已处于稳定，t=0时开关S闭合。求t>0时电路中的i（t），并画出波形图。

解：换路前电路已处于稳态，由电路显然有u_C（0_-）=0V，故换路后电路为零状态电路，所求响应为零状态响应。

（1）求初始值i（0₊）

由换路定律有u_C（0₊）=u_C（0_-）=0V，电容因其电压初始值u_C（0₊）为零而相当于短路，可得换路后的0₊时刻等效电路如图5-31a所示，得

（2）求稳态值i（∞）

换路后，t→∞时的等效电路如图5-31b所示，显然有

图5-30 题16图

图5-31 题16解图

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电容元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=（3+6∥3）Ω=5Ω

故 τ=R₀C=5×2s=10s

则换路后所求零状态响应为

据此描绘出上式电流波形如图5-32所示。

图5-32 题16解图

17.如图5-33所示电路，电感的初始储能为零，当t=0时开关S闭合。求t>0时电路中的i_L（t），并画出波形图。

解：（1）求初始值i_L（0₊）

电感的初始储能为零，即i_L（0_-）=0A，由换路定律有i_L（0₊）=i_L（0_-）=0A。

（2）求稳态值i_L（∞）

换路后，t→∞时的等效电路如图5-34a所示，显然有

则 i_L（∞）=i₁（∞）+3i₁（∞）=4i₁（∞）=4×0.5A=2A

图5-33 题17图

图5-34 题17解图

（3）求电路的时间常数τ

换路后，从电感元件两端看去的戴维南等效电阻电路如图5-34b所示，采用外加电压法，有如下电路方程：

解上述方程可得

则时间常数为

换路后所求零状态响应为

据此描绘出电流波形如图5-35所示。

图5-35 题17解图

18.图5-36所示电路中，N为线性电阻网络，开关S在t=0时闭合，已知输出端的零状态响应为u（t）=（4+e^-3t）V，t>0。若将电路中的电感换为4F的电容，试求该情况下的输出端的零状态响应。解：依题意电路接电感时，输出端零状态响应为

u（t）=（4+e^-3t）t≥0+

图5-36 题18图

按三要素法公式有

u（t）=[u（0₊）-u（∞）]e^-t/τ+u（∞）=（4+e^-3t）V t≥0₊

比较上述等式两边可得如下关系式：

可解得从电感元件两端看去的戴维南等效电阻R₀=3L=3×0.5Ω=1.5Ω，输出端零状态响应u（t）的初始值u（0₊）=5V、稳态值u（∞）=1V。

接电感时，换路后的0₊时刻的等效电路如图5-37a所示（零状态时电感相当于开路），换路后的t→∞时刻的等效电路如图5-37b所示。换接成电容后，换路后的0₊时刻的等效电路如图5-37c所示（零状态时电容相当于短路），换路后的t→∞时刻的等效电路如图5-37d所示。通过比较不难看出，u（0₊）相当于换接电容时的u′（∞），u（∞）相当于换接电容时的u′（0₊）。

图5-37 题18解图

换接电容后的电路时间常数则为

τ′=R₀C=1.5×4s=6s

故将0.5H的电感换为4F的电容后，输出端的零状态响应为

图5-38 题19图

19.如图5-38所示电路，其中N为线性含独立源的电阻电路。在t=0时，开关S由位置1接到位置3，此时电流i（t）=（3-e^-3t）A，t>0。

（1）i（t）中的零输入响应和零状态响应各为多少？

（2）若t=0时，开关S由位置1接到位置2，i（t）的表达式如何？

解：在一阶动态电路分析具体内容的学习中，我们知道：电容电压和电感电流两物理量的零状态响应具有如下一般形式：

y_zs（t）=y_zs（∞）（1-e^-t/τ） t≥0₊

零输入响应的一般形式可简化为

y_zi（t）=y_zi（0₊）e^-t/τt≥0₊

鉴于以上两点，显然能从全响应表达式中直接分解出零状态响应和零输入响应的物理量只有电感电流和电容电压。

（1）由电路可知电流i（t）即为电感电流，当开关S由位置1接到位置3时，

i（t）=（3-e^-3t）A，t>0

上式可分解为

i（t）=3-e^-3t=[（3-3e^-3t）+2e^-3t]A t>0

则i（t）的零输入响应i_zi（t）和零状态响应i_zs（t）分别为

i_zi（t）=2e^-3tA t>0

i_zs（t）=（3-3e^-3t）A t>0

（2）当开关S由位置1接到位置2时，外加激励改变，根据零状态线性，i（t）中的零状态响应变为

因电路初始状态未改变，i（t）中的零输入响应i_zi（t）仍保持不变，此时i（t）变为

i（t）=i_z′_s（t）+i_zi（t）=[（2-2e^-3t）+2e^-3t]A=2A t>0

20.某一阶RC电路在t=0时换路，已知换路后电容电压的全响应u_C（t）=（2+2e^-t）V。若电路中的独立激励源不变而初始状态扩大一倍，求此时电容电压的全响应，并指出它的暂态响应分量和稳态响应分量。

解：结合题19有关知识要点的剖析，可对本题中电容电压的全响应做如下分解：

u_C（t）=（2+2e^-t）V=[2（1-e^-t）+4e^-t]V

所以，电容电压的零输入响应分量为

u_Czi（t）=4e^-tV

其零状态响应分量为

u_Czs（t）=2（1-e^-t）V

当电路中的独立激励源不变而初始状态扩大一倍时，由零输入线性可知相应电容电压的零输入响应也扩大一倍，即2u_Czi（t）=8e^-tV，而零状态响应保持不变，所以，此时电容电压的全响应u_C′（t）为

u_C′（t）=u_Czs（t）+2u_Czi（t）=[2（1-e^-t）+8e^-t]V=（2+6e^-t）V

其暂态响应分量和稳态响应分量分别为6e^-tV和2V。

21.电路如图5-39所示，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关S闭合，求t>0时的i（t）、i_C（t）和u（t）。

解：需强调指出，三要素公式只适用于直流激励下有损耗一阶电路的分析。本题电路中含有两个独立储能元件，结合电路和题意不难看出电路有如下特点：换路前为二阶电路，换路后，开关S闭合，将原电路分离成两个独立的一阶电路，分别如图5-40a和图5-40b所示。

（1）求初始状态i_L（0_-）和u_C（0_-）。换路前电路已处于稳态，换路前的0_-时刻等效电路如图5-40c所示，显然有

图5-39 题21图

图5-40 题21解图

（2）换路后，即t>0时，在图5-40a所示一阶RC电路中有

代入三要素法公式得

（3）换路后，即t>0时，在图5-40b所示一阶RL电路中有

代入三要素法公式得

（4）换路后，流过闭合开关S的电流i（t）则为

i（t）=i′（t）+i″（t）=（0.4e^-2t+4-3e^-t/3）A t>0

由于图5-40a和图5-40b两一阶电路对支路电流i（t）的产生均有贡献，故求i（t）时不能采用三要素法。

22.如图5-41所示电路，t<0时电路已处于稳态，t=0时换路。求t>0时的电压u_ab。

解：本题的电路情况与题21完全一样，换路前为二阶电路，换路后可分离成两个独立的一阶电路，分别如图5-42a和图5-42b所示。

（1）求初始状态i_L（0_-）和u_C（0_-）。换路前电路已处于稳态，换路前的0_-时刻等效电路如图5-42c所示，显然有

图5-41 题22图

（2）换路后，即t>0时，在图5-42a所示一阶RL电路中有

图5-42 题22解图

代入三要素法公式得

（3）换路后，即t>0时，在图5-42b所示一阶RC电路中有

u_c（0₊）=u_c（0_-）=5V

u_bc（0₊）=u_c（0₊）=5V

u_bc（∞）=3V

τ_RC=2×1s=2s

代入三要素法公式得

（4）换路后，电压u_ab（t）则为

23.如图5-43所示电路，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关S闭合，求t>0时的i（t）。

解：（1）求初始状态i_L（0_-）

换路前的0_-时刻等效电路如图5-44a所示，显然有

（2）由0₊时刻等效电路确定初始值i（0₊）

图5-43 题23图

图5-44 题23解图

由换路定律有

i_L（0+）=i_L（0_-）=2A

换路后的0₊时刻等效电路如图5-44b所示，由叠加定律有

（3）求稳态值u_C（∞）

换路后t→∞时等效电路如图5-44c所示，不难求得

（4）求电路的时间常数τ

换路后，从电感元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=6∥3=2Ω

故

利用三要素法公式得

图5-45 题24图

24.如图5-45所示电路已处于稳定，t=0时开关S闭合。求t>0时电路中的i₁（t）、i₂（t）和i₃（t）。

解：本题电路特点与题21和题22类似，换路前为二阶电路，换路后分离成两个独立的一阶电路，如图5-46a和图5-46b所示。

图5-46 题24解图

（1）求初始状态i_L（0_-）和u_C（0_-）

换路前电路已处于稳态，换路前的0_-时刻等效电路如图5-46c所示，显然有

（2）换路后，即t>0时，在图5-46a所示一阶RC电路中有

代入三要素法公式得

（3）换路后，即t>0时，在图5-46b所示一阶RL电路中有

代入三要素法公式得

（4）换路后，流过闭合开关S的电流i₃（t）则为

25.如图5-47所示电路，以u（t）为输出，求单位阶跃响应g（t）。

解：电路单位阶跃响应是电路在单位阶跃信号激励下产生的零状态响应，一阶电路阶跃响应的求解仍可采用三要素法。

（1）确定初始值u（0₊）

零状态时，有i_L（0_-）=0A，由换路定律得

i_L（0₊）=i_L（0_-）=0A

由图5-47所示电路不难得到u（0₊）=0V。

（2）求稳态值u（∞）

电路进入稳态后，电感看做短路，由图5-47所示电路不难求得

u（∞）=（6∥3）×1V=2V

图5-47 题25图

（3）求电路的时间常数τ

从电感元件两端看去的戴维南等效电阻为

R₀=（6+3）Ω=9Ω

故

利用三要素法公式求得以u（t）为输出的单位阶跃响应g（t）为

或写成

g（t）=（2-2e^-3t）ε（t）V

26.如图5-48a所示电路，以u_C为输出。

（1）求单位阶跃响应g（t）。

（2）若u_C（0_-）=1V，激励u_s如图5-48b所示，求响应u_C。

图5-48 题26图

解：（1）求单位阶跃响应g（t）

零状态时，有u_C（0_-）=0V，由换路定律得

u_C（0₊）=u_C（0_-）=0V

当u_s=ε（t）V时，电路进入稳态后，由图5-48a不难看出

u_C（∞）=1V

和

τ=1×0.5s=0.5s

利用三要素法公式得单位阶跃响应g（t）为

或写成

g（t）=（1-e^-2t）ε（t）V

（2）可分别求出零输入响应和零状态响应，然后叠加求出全响应。由于响应是电容电压，则其零输入响应为

或

u_Czi（t）=e^-2tε（t）V

图5-48b所示激励u_s的波形可用单位阶跃信号表示为

u_s（t）=[ε（t-1）+ε（t-2）-2ε（t-3）]V

根据电路的零状态线性和时不变特性，可求得响应u_C的零状态响应为

由叠加定理得