使用Nyquist曲线法判断系统稳定性

根据自动控制原理^[7]，Nyquist稳定判据是：当系统开环G（s）的Nyquist曲线不穿过复平面（-1，j0）点且逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数R等于系统开环传递函数的正实部极点数P时，则闭环系统稳定；否则，就不稳定。应用Nyquist稳定判据必须先绘制出Nyquist曲线。

MATLAB系统绘制连续系统Nyquist曲线的函数为nyquist（），其调用格式为

nyquist（sys）

[re，im，w]=nyquist（sys）

nyquist（sys）函数用来计算并绘制系统Nyquist曲线，可用于SISO或者MIMO的连续时间系统。LTI对象sys可以是由函数tf（）、zpk（）、ss（）中任何一个函数建立的开环系统模型。当函数命令为无等号左边输出变量格式时，函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的Nyquist曲线。

需要特别注意，此时绘制的Nyquist曲线默认角频率ω范围为（-∞，+∞）。由自动控制理论知道，若令点s=jω及-∞≤ω≤0，即当点s沿虚轴从-j∞向j0运动时，求得轨线为

当点s=jω及0≤ω≤+∞时，即当点s沿虚轴从j0向j∞运动时，则得轨线为

这两部分轨线构成闭环系统在-∞≤ω≤+∞时的完整开环频率响应G（jω）H（jω），其中范围-∞≤ω≤0的G（-jω）H（-jω）部分曲线与范围0≤ω≤+∞的部分曲线G（jω）H（jω）对称于G（s）H（s）复平面的实轴。在自动控制原理的教科书中，一般只绘制0≤ω≤+∞时的幅相特性曲线，这仅是MATLAB中的函数命令nyquist（）执行后绘制的对于横轴对称的幅相特性曲线关于0≤ω≤+∞范围的部分。

[re，im，w]=nyquist（sys）或者[re，im，w]=nyquist（sys，w）函数为带输出变量引用的函数，可计算系统在频率ω处的频率响应输出数据，而不绘制出曲线。其中，输出变量Re为频率响应的实部，Im为频率响应的虚部，ω是频率点。

【例6-9】 已知某系统开环传递函数为，试用

Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。

解：1）计算系统开环特征方程的根。

clear；P=[0.00050.315200]；roots（P），

程序运行结果

ans=1.0e+002∗

-5.4644

-0.2678+0.0385i

-0.2678-0.0385i

即三个根均有负实部，都为稳定根。故系统开环特征方程的不稳定根的个数p=0。

2）绘制系统的开环Nyquist曲线，并用来判断闭环系统的稳定性。

clear；n=600；d=[0.00050.315200]；GH=tf（n，d）；nyquist（GH），grid；

程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist曲线，如图6-13所示。由图可以看出，系统的Nyquist曲线不包围（-1，j0）点。而p=0，根据Nyquist稳定判据，其闭环系统是稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。

3）用阶跃响应曲线验证。

clear；num=600；den=[0.00050.315200]；key=2；stepp（key，num，den）；

程序运行后计算出时域性能指标：超调量σ%=19.0185%、峰值时间t_p=0.0673s、调节时间t_s=0.1020s。并绘制系统单位阶跃响应曲线，如图6-14所示。由图可知，曲线略微超调后迅速衰减到响应终了值，对应的系统闭环不仅稳定，而且具有优良的性能指标，这就验证了Nyquist稳定判据判断结论的正确性。

【例6-10】 已知某系统结构图如图6-15所示，试用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。

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图6-13 系统开环Nyquist曲线

图6-14 系统单位阶跃响应曲线

图6-15 系统结构图

解：1）求系统的开环传递函数。

clear；syms s；G1=10/（s^2∗（0.2∗s+1））；H1=2∗s；phi1=G1/（1+G1∗H1）；

G2=200；GH=factor（G2∗phi1）；[n，d]=numden（GH）；GH=n/d，

程序运行后得到。

2）计算系统开环特征方程的根。

clear；P=[151000]；roots（P），

程序运行结果

ans=0

-2.5000+9.6825i

-2.5000-9.6825i

即三个根均为稳定根，两个根有负实部。根据自动控制原理，零根当做稳定根，故系统开环特征方程的不稳定根的个数p=0。

3）绘制系统的开环Nyquist曲线，并用来判断闭环系统的稳定性。

clear；n=[10000]；d=[151000]；GH=tf（n，d）；nyquist（GH），grid；

程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist曲线，如图6-16所示。由图可以看出，系统的Nyquist曲线顺时针方向包围（-1，j0）点一圈即-2π。而p=0，根据Nyquist稳定判据，其闭环系统是不稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。

4）绘制系统仿真模型sx2L0610.mdl（见图6-17）与单位阶跃响应曲线验证系统的稳定性。

clear；[a，b，c，d]=linmod2（sx2L0610）；sys=ss（a，b，c，d）；t1=0：0.001：0.6；step（sys，t1），grid；

程序运行后，绘制出系统单位阶跃响应曲线，如图6-18所示。由图可知，曲线呈现为发散的振荡，对应系统闭环是不稳定的，这验证了Nyquist稳定判据判断结论正确。

图6-16 系统的开环Nyquist曲线

图6-17 系统仿真模型sx2L0610.mdl

图6-18 系统的单位阶跃响应曲线