MATLAB实现：根轨迹分析的典型案例

时间：2023-06-18 理论教育版权反馈

【摘要】：联合使用根轨迹分析MATLAB函数的几个指令，会使解题更简单、方便。解：1）绘制z=-1.12时系统的根轨迹。1）试绘制该系统的根轨迹；2）试绘制根轨迹在复平面左边、右边与纵坐标轴三种情况时对应系统的阶跃响应曲线并比较分析。当选择根轨迹与纵坐标轴的交点时，MATLAB系统提示文本框显示开环增益K=4。

MATLAB实现：根轨迹分析的典型案例

联合使用根轨迹分析MATLAB函数的几个指令，会使解题更简单、方便。

【例8-1】设一负反馈系统的开环传递函数为，1）当开环零点z=-1.12时，试绘制系统的根轨迹，并简单分析系统的稳定性；2）当z=-1时，试概略确定闭环系统具有最佳阻尼比的极点、对应的开环增益K的大致范围及其超调量。

解：1）绘制z=-1.12时系统的根轨迹。

clear；n=[11.12]；d=conv（[100]，[0.11]）；

sys=tf（n，d）；rlocus（sys），grid；

程序运行后，绘制系统的根轨迹如图8-1所示。由图可见，①根轨迹即系统闭环特征根的变化全在复平面虚轴的左边，说明系统闭环总是稳定的；②在实轴上的根轨迹区段，起始

图8-1 开环零点z=-1.12时系统根轨迹

于开环极点p=-10，对应开环增益K=0，终止于开环零点z=-1.12，对应开环增益K=∞（inf）。系统的超调量均为0。图中的文字框信息有该点的“Gain”（K值）、“Pole”（零、极点坐标）、对应系统的“Dmping”（阻尼系数）、“Overshoot”（超调量）、“Frequency”（无阻尼自然振荡角频率）等。2）绘制z=-1时系统根轨迹。根据自动控制原理，当ζ=0.707时，σ%=4.33%。

绘制z=-1时系统根轨迹的程序如下。

clear；n=[11]；d=conv（[100]，[0.11]）；

sys=tf（n，d）；rlocus（sys），grid；

程序运行后得到根轨迹图如图8-2所示。在复平面中，单击与负实轴成45°夹角线附近的一点，显示数据为阻尼比ζ=0.705、增益K=4.91、极点poles=-4.32+4.39i，超调量σ%=4.4%。

当执行以下程序绘制系统根轨迹时，选择点selected_point=-4.32+4.39i，系统计算出的数据与图8-2中的数据相差不大。

clear；n=[11]；d=conv（[100]，[0.11]）；sys=tf（n，d）；

rlocus（sys），grid；[k，poles]=rlocfind（sys，-4.32+4.39i），

程序运行后得到

k=4.9477

poles=-4.3525+4.3885i

-4.3525-4.3885i

-1.2951

图8-2 开环零点z=-1时系统的根轨迹

2）结论。当z=-1时，系统根轨迹与负实轴成45°夹角线附近的点都具有近似最佳阻尼比ζ（0.705～0.709）与对应开环增益K（4.8～5.0）及其相应超调量σ%（4.2%～4.7%）。

【例8-2】设系统结构如图8-3所示。1）试绘制该系统的根轨迹；2）试绘制根轨迹在复平面左边、右边与纵坐标轴三种情况时对应系统的阶跃响应曲线并比较分析。

解：1）绘制系统的根轨迹。

图8-3 系统结构图

①求系统开环传递函数。

clear；syms s G2 H2 G1 G K phi1；G2=0.5/（s∗（0.5∗s+1））；

H2=2；phi1=G2/（1+G2∗H2）；G1=K/s；G=factor（G1∗phi1），

程序运行后得到。

②用G（s）绘制根轨迹。

clear；n=1；d=conv（[10]，[122]）；

sys=tf（n，d）；rlocus（sys），grid；

程序执行后，可得系统的根轨迹图如图8-4所示。当选择根轨迹与纵坐标轴的交点时，MATLAB系统提示文本框显示开环增益K=4。此时对应系统为临界稳定。

2）绘制三种情况时对应系统阶跃响应曲线。

以开环增益K=4对应系统临界稳定为参考，选K=2相当于在复平面左边的根轨迹上取一点，再选K=6相当于复平面右边的根轨迹上取一点，分别绘制系统阶跃响应曲线。

clear；d=conv（[10]，[122]）；i=0；

for k=2：2：6

i=i+1；n=k；G=tf（n，d）；sys=feedback（G，1）；figure（i）；step（sys），grid；pause；

if k==6

disp（按任一键退出！）

end

图8-4 系统根轨迹图

程序运行后，绘制系统阶跃响应曲线如图8-5所示。程序运行当绘制出第1幅图后，按下键盘的任意键则绘制第2幅图，依此类推，待完全退出后才能进行其他操作。

3）三条系统阶跃响应曲线比较分析。

由图8-5所示曲线可看出，K=2的曲线，其根轨迹在复平面纵轴的左边，对应系统闭环稳定，单位阶跃响应有超调，是衰减的振荡。K=4时对应系统为临界稳定，阶跃响应为等幅振荡。K=6的曲线，其根轨迹在复平面纵轴的右边，对应系统闭环不稳定，单位阶跃响应是发散的振荡。

图8-5 系统阶跃响应曲线

【例8-3】设单位负反馈系统开环传递函数为，1）试绘制该系统根轨迹；

2）在根轨迹图上，计算设置在最佳阻尼线（即复平面中与负实轴成±45°的夹角线）附近的闭环极点；3）绘制其对应系统阶跃响应曲线并分析。

解：1）绘制系统的根轨迹。

clear；n=1；d=conv（[10]，[0.51]）；

sys=tf（n，d）；rlocus（sys），grid；

[k，poles]=rlocfind（sys，-1.0000+1.0000i），

程序执行后，可得系统根轨迹图如图8-6所示。计算出当开环根轨迹增益K=1时，系统闭环特征根（即闭环极点）poles_1.2=-1±j1。在最佳阻尼线即与负实轴成±45°的夹角线附近的闭环极点就是poles_1.2=-1±j1。

2）计算系统的闭环传递函数与阻尼比。

clear；syms s n d phi；n=1；

d=expand（s∗（0.5∗s+1）+1）；phi=factor（n/d），

程序运行结果。

clear；syms s omegan zeta；omegan=vpa（sqrt（2），4），

[zeta]=solve（2∗zeta∗1.414=2）；zeta=vpa（zeta，3），

程序运行结果ζ=0.707。

3）绘制系统的阶跃响应曲线。

clear；n=2；d=[122]；phi=tf（n，d）；step（phi），grid；

[y，t]=step（phi）；key=2；[sigma，tp，ts]=perf（key，y，t）；

程序运行后，绘制系统阶跃响应曲线如图8-7所示。当K=1时，系统的闭环极点正好在最佳阻尼线（即复平面中与负实轴成45°的夹角线）上，其阻尼比ζ=0.707。由图8-7可看出，系统阶跃响应超调小（4.4565%），调节时间短（t_s=4.2387s），正是二阶系统最佳响应。

【例8-4】已知一负反馈系统开环传递函数为，1）绘制系统的根轨迹并证明复平面上根轨迹是圆；2）试确定系统呈现欠阻尼状态时的开环增益的范围；3）试求系统最小阻尼比时的闭环极点。

图8-6 系统根轨迹图

图8-7 系统阶跃响应曲线

解：1）证明复平面上根轨迹是圆。

①当s=σ+jω时求系统闭环特征方程的实部与虚部。

clear；syms s D；syms K sigm omega real；

D=s∗（s+2）+K∗（s+3）；D=subs（D，[s]，[sigm+j∗omega]）；D=expand（D）；

Re=collect（real（D），K），Im=expand（imag（D）），

程序运行结果Re[D]=σ²+2σ+K（σ+3）-ω²、Im[D]=2σω+2ω+Kω。

②系统闭环特征方程D（s）=0是一复数方程，其实部与虚部均为0。由Re[D]=0求出K。

clear；syms K sigm omega real；(www.xing528.com)

[K]=solve（2∗sigm∗omega+2∗omega+K∗omega=0，K），

程序运行结果K=-2∗sigm-2。

③由系统闭环特征方程D（s）=0的虚部Im[D]=0求出σ与ω间的关系。

clear；syms K sigm omega real；

Re=subs（（sigm+3）∗K+sigm^2+2∗sigm-omega^2，[K]，[-2∗sigm-2]）；

Re=expand（Re），

程序运行结果-σ²-6σ-6-ω²=0，那么。由关系式可知，复平面的横坐标与纵坐标即σ与ω间的关系是一圆，圆心坐标为（-3，j0），半径为。

2）确定系统呈现欠阻尼状态时的开环增益的范围。

当欠阻尼时，系统闭环有两个不相等的负实根，那么系统根轨迹应在实轴上的两分离点之间。先计算分离点。

clear；syms d；

[d]=solve（1/（d-0）+1/（d+2）=1/（d+3），d）；d=vpa（d，4），

程序运行结果

d=-1.268

-4.732

①对第一个分离点（在分离点处的特征方程为D（d₁）=0）。

clear；syms s K；D=s∗（s+2）+K∗（s+3）；

D=subs（D，[s]，[-1.268]）；D=vpa（D，4），

程序运行结果D=-0.9282+1.732∗K。

②解方程求K。

clear；syms K；[K]=solve（-.9282+1.732∗K=0，K）；

K=vpa（K，4）；K=vpa（K∗3/2，4），

程序运行结果K=0.8038。

③对第二个分离点（在分离点处的特征方程为D（d₂）=0）。

clear；syms s K；D=s∗（s+2）+K∗（s+3）；

D=subs（D，[s]，[-4.732]）；D=vpa（D，4），

程序运行结果D=12.93-1.732∗K。

④解方程求K。

clear；syms K；[K]=solve（12.93-1.732∗K=0，K）；

K=vpa（K，4）；K=vpa（K∗3/2，4），

程序运行结果K=11.20，即欠阻尼时的开环增益范围为0.8038<K<11.2。

3）求系统最小阻尼比时的闭环极点。

二阶系统复数极点与负实轴夹角的余弦，即，当ζ即cos β为最小值时，β有最大值，即复数极点对坐标原点连线与负实轴的夹角为最大值，此时复数极点应在坐标原点对于圆的切线上。

clear；n=[13]；d=conv（[10]，[12]）；

sys=tf（n，d）；rlocus（sys），grid；

[k，poles]=rlocfind（sys，-2+1.4142i），

程序运行后得到图8-8，单击圆右上方的最外侧处，则得到系统最小阻尼比时的闭环极点poles_1.2=-2±j1.4142。

图8-8 单击圆右上方的最外侧处

图8-9 系统结构图

【例8-5】已知系统结构如图8-9所示，其中。1）试绘制H（s）=0与串联校正G_c（s）=1++0.0625s时系统根轨迹图，并在系统根轨迹图上找一点使其系统超调量σ%≤10%，确定此时的K；2）试绘制反馈校正H（s）=K₁s，K=50与G_c（s）=1时系统根轨迹图，并确定系统阶跃响应超调σ%=4.3%闭环系统主导极点位置及计算相应的K₁值。