将状态方程化为对角标准型的优化方法

已经说明过，系统状态变量不是唯一的。根据分析与设计系统的不同需要，可选择不同状态变量。在一定条件下，可把系统状态空间模型规范为几种标准形式，叫做状态空间模型的标准型。这些标准型能把系统的某些特性描述得更清晰、准确，并且具有更简洁的形式，会给系统分析与设计带来很多方便。

例如对角线标准型可以去除状态变量之间的联系，有文献将此称为状态解耦，这会给系统的分析与计算带来极大的方便。

1.化特征值互异、矩阵A为任意形式的状态方程为对角标准型

请注意这种系统矩阵A为任意形式，但其特征值一定互异，使用MATLAB系统函数命令[V，D]=eig（A），计算矩阵A的V、D，其特征向量矩阵V就可将A化为对角标准型。请看示例。

【例14-13】 试将状态空间表达式对应的系统化为对角标准型。

解：运行以下程序求解。

clear；syms s；A=[01-1；-6-116；-6-115]；

[V，D]=eig（A）；P=V，D，A1=inv（P）∗A∗P，

程序运行后得到系统变换矩阵、系统的对角标准型为，还可以运行调用自编函数lintra01.m的程序验证系统变换前后特征值的不变性。请注意，程序中的D不是系统输出矩阵，而是A的特征值对角矩阵。

clear；syms s t；A=[01-1；-6-116；-6-115]；B=[0；0；0]；C=[000]；

P=[0.7071-0.2182-0.0921；0.0000-0.4364-0.5523；0.7071-0.8729-0.8285]；

[A1，B1，C1]=lintra01（A，B，C，P）；

需要提请读者，因各种误差的累积，系统特征值|sE-A|与计算结果中出现了小数。只要将小数中无效的“0”除去，即可得到正确结果。请看本例用以下程序处理。

clear；syms s；A1=[-10.00030.0001；0-20；0-0.0011-3]；

n=length（A1）；E=eye（n）；sEA1=factor（det（s∗E-A1）），

程序运行结果证实|sE-A|==（s+1）（s+2）（s+3）。以下例中出现类似情况，不再赘述，读者可自行验证。

【例14-14】 试将以下状态空间表达式的系统变换为对角标准型。

解：运行以下程序求解。

clear；syms s；A=[010；302；-12-7-6]；

[V，D]=eig（A）；P=V，D，A1=inv（P）∗A∗P，

程序运行后得到系统变换矩阵、系统的对角标准型为，还可以运行调用自编函数lintra01.m的程序验证系统变换前后特征值的不变性。再次提醒，程序中的D不是系统输出矩阵，而是A的特征值对角矩阵。

clear；syms s t；A=[010；302；-12-7-6]；B=[0；0；0]；C=[000]；

P=[-0.5774-0.43640.2294；0.57740.8729-0.6882；0.5774-0.21820.6882]；

[A1，B1，C1]=lintra01（A，B，C，P）；

2.利用范德蒙德矩阵将特征值互异、矩阵A为友矩阵或正则形矩阵化为对角线标准型

如果状态矩阵A具有如下的标准形式（有文献将这种形式称为友矩阵或正则形矩阵）

并且A又具有互异的特征值λ₁、λ₂、…、λ_n，则以下范德蒙德矩阵P可使A对角化。

为方便计算，作者编制了利用范德蒙德矩阵将状态方程化为对角线标准型的函数vander.m。请看示例。

【例14-15】 已知系统状态空间表达式为1），C=[000]；

2）、y=[00]x，试将系统变换为对角标准型。

解：1）给出以下调用自编函数vander.m的程序求解。

①用自编函数cha01.m验证系统1特征值互异。

clear；syms s；A=[010；001；-6-11-6]；

[sea，detsea，V，D]=cha01（A）；V1AV=inv（V）∗A∗V，

程序运行后得到

d=-1.0000

-2.0000(www.xing528.com)

-3.0000

程序运行后得到特征值d=[-1；-2；-3]是互异的。

②调用自编函数vander.m的程序将系统变换为对角标准型。

clear；syms s；

A=[010；001；-6-11-6]；B=[1；1；0]；C=[000]；

[Vand，A1，B1，C1]=vander（A，B，C）；

程序运行后得到系统的对角标准型动态方程

③为验证上述变换是否正确先要用自编函数lintra01.m求P1。

clear；syms s t；

A=[010；001；-6-11-6]；B=[1；1；0]；C=[000]；

P=[111；-1-2-3；149]；[A1，B1，C1]=lintra01（A，B，C，P）；

程序运行后得到系统的

④再用自编函数lintra02.m验证上述变换是否正确。

clear；syms s t；A1=[-100；0-20；00-3]；

B1=[5.5；-7；2.5]；C1=[000]；

P1=[32.50.5；-3-4-1；11.50.5]；

[A，B，C]=lintra02（A1，B1，C1，P1）；

程序运行后得到系统状态空间表达式，C=[000]。

2）也给出以下调用自编函数vander.m的程序求解。

①用自编函数cha01.m验证系统2特征值互异。

clear；syms s；A=[01；-5-6]；

[sea，detsea，V，D]=cha01（A）；V1AV=inv（V）∗A∗V，

程序运行后得到特征值d=[-1；-5]是互异的。

②调用自编函数vander.m的程序将系统变换为对角标准型。

clear；syms s；

A=[01；-5-6]；B=[0；1]；C=[00]；

[Vand，A1，B1，C1]=vander（A，B，C）；

程序运行后得到系统的对角标准型动态方程

③为验证上述变换是否正确先要用自编函数lintra01.m求P1。

clear；syms s t；A=[01；-5-6]；B=[0；1]；C=[00]；

P=[11；-1-5]；[A1，B1，C1]=lintra01（A，B，C，P）；

程序运行后得到系统的。

④再用自编函数lintra02.m验证上述变换是否正确。

clear；syms s t；P1=[1.250.25；-0.25-0.25]；A1=[-10；0-5]；

B1=[0.25；-0.25]；C1=[00]；[A，B，C]=lintra02（A1，B1，C1，P1）；

程序运行后得到系统状态空间表达式、y=[00]x。