构件应变与应力的关系及计算方法

外力作用下，构件发生变形，同时在构件内部产生应力，而且应力的大小与变形程度密切相关。为了研究构件的变形和应力分布，需要对变形进行定量研究。

1.位移与变形

位移是指位置的改变，即构件或结构在外力作用下发生变形后，构件或结构中各质点及各截面空间位置的改变。位移可分为线位移和角位移。在图1-16中，构件上的A点变形后到了A′点，A与A′连线AA′称为A点的线位移。构件截面变形后所转过的角度称为角位移。图1-16中的右端面m－m变形后移到了m′－m′的位置，其转过的角度θ就是截面m－m的角位移（也称转角）。

图1-16　位移与变形

不同点的线位移及不同截面的角位移一般都各不相同，由于变形的连续性，它们都是位置坐标的连续函数。

构件变形时一定有位移发生；反之，有位移发生不一定有变形，如刚体位移情况。可见，虽然位移在某些情况下可以用来度量构件的变形程度，但并不能完全描述构件的变形情况。尤其当想知道构件上某一点的变形程度时，位移就无法给出精确描述。因此，需要引入新的概念，即应变。

2.应变

考虑图1-17（a）所示的变形体，为研究A点的变形，变形前在A点选取两条相互垂直的微小线段AB和AC，长度分别为Δy和Δx。若变形后，A、B、C三点分别变为A′、B′、C′。

现在研究变形后可能出现的两种特殊情况，分别如图1-17（b）和图1-17（c）所示。

图1-17　应变的概念

假设图1-17（b）中，线段AB缩短了Δv，AC伸长了Δu，但两线段在变形后仍然保持垂直，即A点只发生了尺寸改变而形状保持不变。A点在AC、AB方位上尺寸的改变程度可用式（1-8）定义的量来度量：

式中，εm，AC和εm，AB分别称为线段AC和AB的平均正应变或平均线应变。注意到变形后线段AC伸长、AB缩短，所以计算出的εm，AC为正值，而εm，AB为负值。

若将线段AC和AB无限缩短，则下列极限值可以度量A点的变形情况：

式中，εAC和εAB分别称为A点在AC方位和AB方位上的正应变或线应变。由式（1-9）看出，应变与位移的导数密切相关。另外还需指出，A点的正应变与所取线段AB、AC的方位有关，当AB、AC的方位改变时，得到的A点的正应变也不同。正应变是两个线段的比值，因此是量纲为1的物理量。

图1-17（c）中，线段AC和AB变形后长度没有发生变化，但不再保持垂直关系，AC、AB线段分别旋转了α和β的角度，表明A点处的尺寸没发生变化，但形状发生了改变。形状改变的程度可以用AC乘AB的直角角度改变量γ计算：(www.xing528.com)

式中，γ称为A点处的切应变或角应变，单位：rad。

图1-17（b）、（c）讨论的是两种特殊变形情况，只有正应变或者只有切应变。一般情况下，构件上点的变形既有正应变也有切应变，即尺寸改变和形状改变往往是同时发生的。

【例1-2】　为考察构件上一点A的变形，变形前在A点绘制图1-18所示的正方形ABCD，变形后其形状如图中虚线所示。试求A点在x、y两个方向上的正应变和A点处的切应变。

解：　线段AB的长度不变，说明A点在x方向没有发生尺寸改变，故其平均正应变为零，即εm，AB＝0。而线段AD变形前后的长度改变量为

图1-18　例1-2图（尺寸单位：mm）

所以，A点在y方向的平均正应变为

上式中的负号表示在该方向为缩短变形。

A点处的切应变等于直角BAD变形前后的改变量，其大小如下：

在小变形情况下，正应变和切应变的计算可以采用简单的近似计算方法。变形后直线AD′的长度与该直线在y轴上的投影AG的长度差别很小，因此，在计算正应变εy时，通常以投影AG的长度代替直线AD′的长度，于是有

该值与前面计算结果的相对误差只有1.7%。

类似地，角度γ也很小，所以

与前面计算结果相同。