应力与应变的关系简述

冷挤压变形的主应力与相对应变之间的关系可以用应变比例定律来表示。所谓应变比例定律就是指相对应变与相应的应力偏量成比例。

图1-37 三向压应力作用下的单元体

设从挤压变形体中任取一单元体，它承受三向压应力σ₁、σ₂、σ₃的作用，如图1-37所示。变形前的尺寸为l₁、l₂、l₃，变形后尺寸的微量变化为Δl₁、Δl₂、Δl₃（正号表示伸长，负号表示压缩），则毛坯的相对应变为

这三个方向的应力与应变关系可用下式表示

式中 σ_m——平均应力，；

λ——正值比例常数。

式（1-2）就是应变比例定律方程式。该式没有反映加载过程的经历，对于加载过程中应力比值不恒定的过程，严格说来是不适用的，仅适用于简单加载的情况。但是由于该式运算简便，因此，可用来近似表示冷挤压中的应力与应变关系。

由应变比例定律可以得出如下一些关系。

1.三种典型压缩变形

（1）单向压缩（见图1-38a）假设σ₃＜σ₁=σ₂=0，则由式（1-2）可得

图1-38 三种典型压缩变形

a）单向压缩 b）等双向压缩 c）平面应变压缩

式（1-3）表明：只在材料的一个方向上加压时，则在此方向上受到压缩应变，而此压缩应变又各以其半数向横向伸长。例如，无摩擦的镦挤变形就属于此种变形情况。

（2）等双向压缩（见图1-38b）假设σ₁=σ₂＞σ₃时，则由式（1-2）可得

δ₃=-2δ₁=-2δ₂ （1-4）

式（1-4）表明：当材料的三个方向上受压时，其中两向压力代数值相等且大于另一向压力，则在此两相等压力σ₁、σ₂方向上受到相等的压缩应变，而又以此压缩应变的两倍向第三方向伸长。例如，实心件正挤压变形区中的2区（见图1-35a）就是属于此种变形情况。

（3）平面应变压缩（见图1-38c）假设σ₂=（σ₁+σ₃）/2，则由式（1-2）可得

δ₂=0，δ₃=-δ₁（1-5）(www.xing528.com)

式（1-5）表明：当在金属材料的三个方向上加压时，其中一向压应力σ₂等于另两向压应力σ₁、σ₃的平均值。此时在σ₂方向上不产生变形，故为平面应变状态，σ₁方向上的压缩应变恰好等于σ₃方向上的伸长应变。例如，为了便于对实际的挤压变形进行分析和计算，常把属于轴对称问题的挤压变形简化为长板件挤压，简化后的挤压变形就是属于此平面应变压缩。

2.体积不变方程式

把式（1-2）的分子和分母分别加起来可得

为使此分数不变成无限大，必须使下式成立：

δ₁+δ₂+δ₃=0 （1-6）

式（1-6）为体积不变方程式。它表示冷挤压变形前后的体积是相等的，故又称为体积不变定律。它是冷挤压中计算原材料体积的理论依据。

3.应变符号与相对应的应力偏量符号

现以正挤压变形区中的2区（见图1-35a）为例来说明。设轴向压应力σ₁=-50MPa，径向压应力σ₂=切向压应力σ₃=-80MPa，则主应力简图如图1-39a所示，平均应力σ_m=，如图1-39b所示，则应力偏量大小为

图1-39正挤压2区主应力简图

如图1-39c所示。对比图1-35a中2区的主应变简图的符号与图1-39c的符号，可以看出应变符号与应力偏量符号是相同的。

4.应变顺序与应力顺序对应关系

因为σ₁＞σ₂＞σ₃，由式（1-2）得

δ₁＞δ₂＞δ₃ （1-7）

式（1-7）表明：与最大主应力方向相对应的应变δ₁为最大，与最小主应力方向相对应的应变δ₃为最小，而与中间主应力方向相对应的应变δ₂介于δ₁与δ₃之间。

应变的大小和方向，既应满足式（1-6），又应满足式（1-7），同时满足这两式的条件是：应变的符号有正有负，沿着最大主应力σ₁的主应变δ₁必然是正应变（拉应变），沿着最小主应力σ₃的主应变δ₃必然是负应变（压应变）。至于中间主应力σ₂所对应的主应变δ₂是拉应变还是压应变，要看σ₂接近于σ₁还是σ₃而定。如果σ₂接近于σ₁，则δ₂是拉应变；如果σ₂接近于σ₃，则δ₂是压应变。如何判断σ₂接近于σ₁，还是σ₃呢？可根据图1-40所示的应力与应变数轴来确定。

由图1-40可知：当时，δ₂为拉应变；当时，δ₂为压应变；当时，δ₂=0为平面应变状态。

图1-40 应变δ₂与应力σ₂符号对应关系