二维应力状态的主应力与方向

根据正规方程组式（2-5）求得二维应力状态σx，σy和τxy以后，主应力σ1，σ2和大主应力σ1的方向α也可求出。

大、小主应力σ1和σ2的量值由二维应力状态的特征方程

求得

主应力的方向由静力平衡方程

中的任一式（此两式为线性相关）和方向余弦的关系式

求得。式中li和mi为主应力σi与轴x和轴y的方向余弦。实际上，式（2-14）表明方向余弦l1=cosα，m1=sinα，l2=-sinα，m2=cosα，也即表明大小主应力方向相互垂直。只要推算大主应力方向即可，取式（2-13）第一式（i=1）并代入式（2-12）第一式整理后得到(www.xing528.com)

利用正切倍角公式得到

由式（2-15）可定出α和α′=α+90°两个主平面。究竟哪一个主平面是最大主应力σ1的主平面呢？

利用应力分量坐标转换公式，二维问题的三个应力分量用主应力表示为

由式（2-16）第一、二两式得到

式（2-17）为决定主方向的补充条件。由于反正切的主值范围为-90°～90°，即一、四象限，在式（2-17）中，σ1-σ2≥0，故cos2α必与（σx-σy）同号。因此，若（σx-σy）≥0，则cos2α≥0，2α在一、四象限，与反正切主值范围相同，若（σx-σy）＜0，则cos2α＜0，2α必在二、三象限，与反正切主值范围差±180°。所以最大主应力σ1的方向α，可直接按式（2-15）中分母的正负号来判别，即